Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu

[baklazan9494]

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x+3}\) jest równa \(\displaystyle{ 6}\), reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x ^{2} -1}\) jest równa \(\displaystyle{ 4x+1}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x+3)(x ^{2} -1)}\).
Macie na to jakieś pomysły?

[lesmate]

Reszta będzie wielomianem stopnia ci najwyżej trzeciego czyli szukasz dajmy na to

\(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\), a dokładniej
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x+3)(x^2-1)+R(x)}\)
Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x+3}\) wynosi \(\displaystyle{ 6}\)
,to
\(\displaystyle{ W(-3)=Q(-3)(-3+3)(9-1)+R(-3)=6}\),stąd \(\displaystyle{ R(-3)=6}\) dostajemy równie \(\displaystyle{ a(-3)^2+b(-3)+c=6}\)
\(\displaystyle{ 9a-3b+c=6}\)
Podobnie
reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x^2-1}\) wynosi \(\displaystyle{ 4x+1}\)
,to
\(\displaystyle{ W(x)=D(x)(x^2-1)+4x+1}\) stąd mamy
\(\displaystyle{ W(1)=D(1)(1-1)+4+1=0+5=5}\) i analogicznie \(\displaystyle{ W(-1)=D(-1)(1-1)-4+1=0-3=-3}\)
Stad
\(\displaystyle{ W(1)=Q(1)(1+3)(1-1)+R(1)=5}\),stąd \(\displaystyle{ R(1)=5}\) dostajemy równie \(\displaystyle{ a1^2+b+c=5}\)
\(\displaystyle{ a+b+c=5}\)
Podobnie
\(\displaystyle{ W(-1)=Q(-1)(-1+3)(1-1)+R(-1)=-3}\),stąd \(\displaystyle{ R(-1)=-3}\) dostajemy równie \(\displaystyle{ a-(1)^2+b(-1)+c=-3}\)
\(\displaystyle{ a-b+c=-3}\)

Pozostaje tylko rozwiązać ukad trzech równań i trzech niewiadomych.

pozdrawiam.

[baklazan9494]

lesmate, A możesz zdradzić mi jeszcze sekret, skąd wiadomo że \(\displaystyle{ R(x)=ax ^{2} +bx +c}\)

[bakala12]

Reszta z dzielenia ma stopień zawsze mniejszy od dzielnika. U nas dzielnik ma stopień \(\displaystyle{ 3}\), więc reszta musi być stopnia \(\displaystyle{ 2}\) lub mniej.