Schemat Hornera

manoff · Post autor: **manoff** » 28 paź 2013, o 17:21

Witam ostatnio dostałem od naszego dr na wykładach takie zadanie:

Znaleźć pierwiastek rzeczywisty równania:

\(\displaystyle{ x^4-4x^3+5x^2-4x}\)

słyszalem że trzeba to hornerem zrobić jest ktoś w stanie mi pomoc?

Pozdrawiam

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 28 paź 2013, o 17:59

Gołym okiem widać, że \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem.

manoff · Post autor: **manoff** » 28 paź 2013, o 18:11

Napisałem zero to napisał czerwonym "gdzie wytłumaczenie" da się to w ogóle jakoś wytłumaczyć skoro jak sam mówisz gołym okiem to widać?

-- 28 paź 2013, o 19:45 --

Do tego samego zadania Znaleźć pierwiastek rzeczywisty równania gdyby był taki przykład?

\(\displaystyle{ x^4-4x^3+5x^2-4x=(x-2)}\)

dulcemaria94 · Post autor: **dulcemaria94** » 28 paź 2013, o 19:48

Może po prostu \(\displaystyle{ W(0)=0 ^{4}-4 \cdot 0 ^{3} +5 \cdot 0 ^{2}-4 \cdot 0=0}\)?
Miałam podobną sytuację... Zrobiłam zadanie ze schematu Hornera i nie dostałam kompletu punktów. Jak zapytałam o co chodzi, to usłyszałam, ze właśnie to miałam napisać.

manoff · Post autor: **manoff** » 28 paź 2013, o 19:58

No tak zgadza się ale jeśli mamy do policzenia Hornerem:

\(\displaystyle{ x^4-4x^3+5x^2-4x=(x-2)}\)

to już nie będzie 0 tylko nie wiem jak to rozpisać..

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 28 paź 2013, o 20:13

manoff pisze:No tak zgadza się ale jeśli mamy do policzenia Hornerem:

\(\displaystyle{ x^4-4x^3+5x^2-4x=(x-2)}\)

to już nie będzie 0 tylko nie wiem jak to rozpisać..

Nie znajdziesz pierwiastków tego równania - są bardzo brzydkie i niewymierne.

manoff · Post autor: **manoff** » 28 paź 2013, o 20:16

Dzięki wielkie temat do zamknięcia

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 28 paź 2013, o 20:21

Nie znajdziesz pierwiastków tego równania - są bardzo brzydkie i niewymierne.

Hornerem może i nie ale czemu nie innymi sposobami ?

Po wyciągnięciu x dostaniesz równanie trzeciego stopnia

Teraz korzystasz z jednego z dwóch pomysłów

1. Podstawieniami obniżasz stopień równania
2. Podstawieniem sprowadzasz równanie do wzoru na funkcje trygonometryczne
(sinus bądź cosinus) kąta potrojonego

manoff, schematem Hornera możesz obliczyc wartośc pochodnej wielomianu w punkcie

\(\displaystyle{ -\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\) co może byc pomocne w wymyślaniu podstawienia
obniżającego stopień równania

\(\displaystyle{ W\left( x\right)= x^3-4x^2+5x-4}\)

Schematem Hornera obliczasz wartośc pochodnej wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{4}{3}}\)

Podstawieniem

\(\displaystyle{ x=u-\frac{W^{\prime}\left( \frac{4}{3} \right) }{3u}+\frac{4}{3}}\)

Powyższe postawienie powinno sprowadzic równanie trzeciego stopnia do równania kwadratowego
na \(\displaystyle{ u^3}\)

Jak znajdziesz jeden pierwiastek to możesz oczywiście ten wielomian podzielic

Ze schematem Hornera to tylko to możesz zrobic

Jeżeli równanie kwadratowe które otrzymasz nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych
to przydałaby się chociaż elementarna wiedza o liczbach zespolonych

Na równanie czwartego stopnia intuicyjny pomysł jest dośc prosty
Wymnóż dwa trójmiany w postaci ogólnej
Porównując współczynniki przy wielomianach dostajesz układ równan

Układ równań możesz "na pałę" rozwiązywac chociażby metodą podstawiania
W pewnym momencie dostaniesz równanie szóstego stopnia które da się zredukowac do
równania trzeciego stopnia
Dodatkowo możesz dostac problem dzielenia przez zero
Gdy wszystkie pierwiastki równania szóstego stopnia które da się zredukowac do
równania trzeciego stopnia powodują dzielenie przez zero to równanie ma najprawdopodobniej
pierwiastek poczwórny
Możesz równania pogrupowac w pary i zauważyc że są to wzory Viete dwóch trójmianów
(Tutaj aby otrzymac równanie trzeciego stopnia może choc nie musi byc przydatna
elementarna wiedza o wielomianach symetrycznych (tych wielu zmiennych))

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 28 paź 2013, o 20:58

mariuszm pisze:
Nie znajdziesz pierwiastków tego równania - są bardzo brzydkie i niewymierne.
Hornerem może i nie ale czemu nie innymi sposobami ?

Po wyciągnięciu x dostaniesz równanie trzeciego stopnia

Teraz korzystasz z jednego z dwóch pomysłów

1. Podstawieniami obniżasz stopień równania
2. Podstawieniem sprowadzasz równanie do wzoru na funkcje trygonometryczne
(sinus bądź cosinus) kąta potrojonego

manoff, schematem Hornera możesz obliczyc wartośc pochodnej wielomianu w punkcie

\(\displaystyle{ -\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\) co może byc pomocne w wymyślaniu podstawienia
obniżającego stopień równania

\(\displaystyle{ W\left( x\right)= x^3-4x^2+5x-4}\)

Schematem Hornera obliczasz wartośc pochodnej wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{4}{3}}\)

Podstawieniem

\(\displaystyle{ x=u-\frac{W^{\prime}\left( \frac{4}{3} \right) }{3u}+\frac{4}{3}}\)

Powyższe postawienie powinno sprowadzic równanie trzeciego stopnia do równania kwadratowego
na \(\displaystyle{ u^3}\)

Jak znajdziesz jeden pierwiastek to możesz oczywiście ten wielomian podzielic

Ze schematem Hornera to tylko to możesz zrobic

Jeżeli równanie kwadratowe które otrzymasz nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych
to przydałaby się chociaż elementarna wiedza o liczbach zespolonych

Wyciągnięcie \(\displaystyle{ x}\) nic nie daje, bo wyraz wolny jest niezerowy. Tak, wiem, istnieją wzory na wielomian stopnia \(\displaystyle{ 4}\), ale stosować je tutaj - nie ma sensu.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 28 paź 2013, o 21:16

Przykład od początku podejrzany o literówkę - po co ten nawias na końcu ? Może zamiast = miało być : (i ktoś chciał Hornerem).

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 28 paź 2013, o 22:39

Tak na dobrą sprawę jak już kiedyś pisałem schematem Hornera nie liczy się pierwiastków
Schematem Hornera można policzyc wartośc wielomianu i jego pochodnych w punkcie
bądź podzielic wielomian przez dwumian
Tutaj dobrym pomysłem będzie rozkład na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
Korzystając ze wzoru Taylora można tak przesunąc pierwiastki aby ich suma była równa zero
Do tego może się przydac schemat Hornera jako że pozwala policzyc wartośc wielomianu i jego pochodnych w punkcie
Przesunięcie pierwiastków powinno uprościc rozkład na iloczyn dwóch trójmianów

Problemem może byc równanie trzeciego stopnia które się pojawi
ale zdaje się że napisałem w jednej z wcześniejszych wiadomości jak je rozwiązac

\(\displaystyle{ x^4-4x^3+5x^2-4x=(x-2)\\
W\left( x\right)= x^4-4x^3+5x^2-5x+2}\)
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|}
x_{0}=1 & 1&-4&5&-5&2\\ \hline
W\left( x_{0}\right)& 1&-3&2&-3&-1\\ \hline
W^{\prime}\left( x_{0}\right) &1&-2&0&-3&\\ \hline
1/2 \cdot W^{\prime\prime}\left( x_{0}\right)&1&-1&-1 & &\\ \hline
\end{tabular}}\)

Dalej już widac że będziemy mieli zero i jedynkę
Wielomian można zatem zapisac w postaci

\(\displaystyle{ \left( x-1\right)^4-\left( x-1\right)^2-3\left( x-1\right)-1}\)

To tyle co można uzyskac korzystając ze schematu Hornera

\(\displaystyle{ y=x-1\\
y^4-y^2-3y-1=\left( y^2-py+q\right)\left( y^2+py+r\right)\\
y^4-y^2-3y-1=y^4+py^3+ry^2-py^3-p^2y^2-pry+qy^2+pqy+qr\\
y^4-y^2-3y-1=y^4+\left( q+r-p^2\right)y^2+\left( pq-pr\right)y+qr\\
\begin{cases} q+r-p^2=-1 \\ pq-pr=-3\\qr=-1 \end{cases}\\
\begin{cases} q+r=-1+p^2 \\ p\left( q-r\right)=-3\\qr=-1 \end{cases} \\
\begin{cases} q+r=-1+p^2 \\ q-r=-\frac{3}{p}\\4qr=-4 \end{cases}}\)

Dodając i odejmując stronami pierwsze dwa równania dostaniemy
\(\displaystyle{ q}\) oraz \(\displaystyle{ r}\) uzależnione od p
Podstawiając otrzymane \(\displaystyle{ q}\) oraz \(\displaystyle{ r}\) do ostatniego równania
otrzymujemy równanie które łatwo przekształcic do równania trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ 2q=\left( p^2-1\right)-\frac{3}{p}\\
2r=\left( p^2-1\right)+\frac{3}{p}\\
4qr+4=0\\
\left( p^2-1\right)^2-\frac{9}{p^2}+4=0| \cdot \left( p^2\right) \\
p^6-2p^4+5p^2-9=0}\)