Zna może ktoś dowód tego twierdzenia:
Jeżeli wielomian ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.
Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych
-
szw1710
Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych
To wynika np. ze schematu Hornera - z postaci reszty z dzielenia \(\displaystyle{ w(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-a}\). Pomyślę nad natychmiastowym dowodem.
Niech \(\displaystyle{ w(x)}\) ma pierwiastek całkowity \(\displaystyle{ a}\). Więc \(\displaystyle{ w(x)=(x-a)p(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ p(x)}\). Wyraz wolny \(\displaystyle{ w(x)}\) jest całkowity. Ale wyraz wolny iloczynu po prawej powstaje przez pomnożenie \(\displaystyle{ a}\) przez wyraz wolny \(\displaystyle{ p(x)}\). Kwestia sprawdzenia, że jest on całkowity, co pozostawiam Tobie.
Niech \(\displaystyle{ w(x)}\) ma pierwiastek całkowity \(\displaystyle{ a}\). Więc \(\displaystyle{ w(x)=(x-a)p(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ p(x)}\). Wyraz wolny \(\displaystyle{ w(x)}\) jest całkowity. Ale wyraz wolny iloczynu po prawej powstaje przez pomnożenie \(\displaystyle{ a}\) przez wyraz wolny \(\displaystyle{ p(x)}\). Kwestia sprawdzenia, że jest on całkowity, co pozostawiam Tobie.