Rozwiąż równanie wielomianowe x^4-10x^3+26x^2-10x+1=0

edytaaaa · Post autor: **edytaaaa** » 14 sty 2005, o 22:12

czy to rówmanie ma jakieś rozwiązanie?

x^4-10x^3+26x^2-10x+1=0

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 14 sty 2005, o 22:25

Równanie ma cztery pierwiastki rzeczywiste - wszystkie niewymierne

Jeśli chcesz je 'ręcznie' rozwiązać, to rozłóż dany wielomian na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych, potem policz wyróżniki i tak dalej...

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 14 sty 2005, o 22:27

wielomiany sa ciagle
W(0)=1
W(4)=16*16-640+26*16 -40+1=42*16-16*40 -40+1=32-40+1=-7

stad i z bolzano-darboux ma rozwiazanie

Arek · Post autor: **Arek** » 14 sty 2005, o 22:55

cóż za elegancja....

no to może podajmy te pierwiastki:

\(\displaystyle{ 3 - 2 sqrt{2} , \,\ 3 + 2 sqrt{2} , \,\ 2 - sqrt{3} , \,\ 2 + sqrt{3}}\)

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 14 sty 2005, o 23:20

pytanie bylo czy ma rozwiazanie a nie jakie sa,
po co sie umartwiac

Arek · Post autor: **Arek** » 15 sty 2005, o 09:06

No wiem, tw. darboux rządzi..., ale tu przy okazji ujawnia się dość ważna cecha, choć ja muszę przynać, że nie widziałem dowodu, że jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek niewymierny x, to ma również pierwiastek sprzeżony z x. Nie wiem, czy to prawda? (wiem, że taki motyw w zespolonych działa...)

g · Post autor: g » 15 sty 2005, o 10:39

zalezy jak definiujesz sprzezenie w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

Arek · Post autor: **Arek** » 15 sty 2005, o 11:10

hmmmm.... no właściwie.... no tu mnie masz ....... bo ja najpierw myślałem po prostu, że liczbę rzeczywistą zapisujesz jako a+bt, gdzie a, b wymierne, a t niewymierna, i sprzeżona by była wówczas a-bt, ale to chyba jakoś nie tak .... znaczy zapisać tak można, ale to wtedy jest poprawnie zdefiniowane sprzężenie.... no raczej nie

nie wiem... właściwie pytanie głupie było....

skojarzyło mi się z zespolonymi, no .... nie wiem, zastonowię się dokładniej i napiszę....

g · Post autor: g » 15 sty 2005, o 11:16

no z tym ze przydaloby sie jednak zeby \(\displaystyle{ x\bar{x} \in \mathbb{Q}}\) chyba, czyli nie rozpatrujemy sprzezenia w sensie \(\displaystyle{ \mathbb{Q} [t]}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ t}\) niewymiernego tylko na przyklad w \(\displaystyle{ \mathbb{Q} [\sqrt{n}]}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) naturalne, bezkwadratowe. w sumie to moznaby sie nad tym zastanowic.

poza tym

Arek pisze:hmmmm.... no właściwie.... no tu mnie masz ....... bo ja najpierw myślałem po prostu, że liczbę rzeczywistą zapisujesz jako a+bt, gdzie a, b wymierne, a t niewymierna, i sprzeżona by była wówczas a-bt, ale to chyba jakoś nie tak .... znaczy zapisać tak

jak \(\displaystyle{ t}\) jest ustalone to nie kazda liczbe rzeczywista mozesz tak zapisac. zbior liczb postaci tej co podales jest przeliczalny.

Arek · Post autor: **Arek** » 15 sty 2005, o 11:37

nie no jasne, chodzi przecież o liczby algebraiczne......... ich jest przeliczalnie wiele

tak... zastanowię się.........

g · Post autor: g » 15 sty 2005, o 12:00

Arek pisze:nie no jasne, chodzi przecież o liczby algebraiczne......... ich jest przeliczalnie wiele

w sumie to zle to ujalem. dla przykladu: nie zapiszesz \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jako \(\displaystyle{ a+b\sqrt{2} , (a,b) \in \mathbb{Q}^2}\)

Arek · Post autor: **Arek** » 15 sty 2005, o 12:11

oczywiście, że nie zapiszę....

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 15 sty 2005, o 13:09

Pytasz o metodę rozwiązania..... Przez W(x) oznaczmy Twój wielomian. Niech P(x) oraz Q(x) będą trójmianami kwadratowymi.

W(x)=P(x)*Q(x)

\(\displaystyle{ P(x)=ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=dx^2+ex+f}\)

Wymnażasz sobie i dostajesz układ równań (przyrównujesz współczynniki z wyjściowym wielomianem). Wiem, że dużo z tym roboty będzie, ale nie mam chwilowo innego pomysłu... Po zamienieniu wielomianu czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych, oblicz ich pierwiastki.

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

olazola · Post autor: **olazola** » 16 sty 2005, o 00:24

Takie rownania chyba maja jakas nazwe, zwronte czy symetryczne, no i oczywiscie swoja metode rozwiazywania.
Sprytnie

edytaaaa · Post autor: **edytaaaa** » 16 sty 2005, o 11:18

czy mógłby ktoś mi napisać w jak rozwiązywał to równanie?
ja próbowałam robić powyższym sposobem ale mi nie wyszło

[ Dodano: Nie Sty 16, 2005 11:19 am ]
edyta