Rozwiąż równanie wielomianowe x^4-10x^3+26x^2-10x+1=0

[Arek]

Podziel przez \(\displaystyle{ x^2}\)

Dostaniesz:

\(\displaystyle{ x^2 \.\ - \.\ 10x \.\ + \.\ 26 \.\ - \.\ \frac{10}{x} \.\ + \frac{1}{x^2}}\)

Teraz cała sztuczka to dokonać podstawienia: \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x} = t}\)

Note: pamiętaj, że: \(\displaystyle{ x^2 + \frac{1}{x^2} = \(x + \frac{1}{x}\)^2 - 2}\)

Podstawienie to:

\(\displaystyle{ t^2 -2 -10t +26}\)

i rozwiązujesz....

[edytaaaa]

dziękuję bardzo za pomoc
zadanko juz zrobiłam:)

[Mariusz M]

Jeżeli chodzi o to czy to równanie ma jakieś pierwiastki to można też przytoczyć zasadnicze twierdzenie algebry które brzmi mniej więcej tak każdy wielomian ma tyle pierwiastków zespolonych ile wynosi jego stopień (rozwiązania istnieją zawsze)

number of roots of P(x) = deg(P(x))

[ Dodano: 19 Sierpnia 2008, 08:29 ]
Można zastosować metodę Ferrariego

\(\displaystyle{ x ^{4}-10x ^{3}+26x ^{2}-10x+1=0}\)

\(\displaystyle{ x ^{4}-10x ^{3} = -26x ^{2}+10x-1}\)

\(\displaystyle{ x ^{4}-10x ^{3} +25x ^{2} = -x ^{2}+10x-1}\)

\(\displaystyle{ \left( x ^{2}-5x\right) ^{2} = -x ^{2}+10x-1}\)

\(\displaystyle{ \left( x ^{2}-5x+ \frac{y}{2} \right) ^{2} = \left( y-1\right)x ^{2}+ \left( 10-5y\right) x+ \frac{y ^{2} }{4} -1}\)

\(\displaystyle{ \left(10-5y \right) ^{2}= \left( y ^{2}-4 \right) \left( y-1\right)}\)

\(\displaystyle{ 25y ^{2}-100y+100 = y ^{3}-y ^{2}-4y+4}\)

\(\displaystyle{ y ^{3}-26y^{2}+96y-96=0}\)

y=2

\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2}-5x+1= x \\ x ^{2}-5x+1=-x \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2}-6x+1=0 \\ x ^{2}-4x+1= 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ d _{1} = 36-4=32}\)
\(\displaystyle{ d _{2} = 16-4=12}\)

\(\displaystyle{ x _{1}= \frac{6-4 \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{2}= \frac{6+4 \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{3}= \frac{4-2 \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{4}= \frac{4+2 \sqrt{3} }{2}}\)


\(\displaystyle{ x _{1}=3-2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{2}= 3+2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{3}= 2- \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x _{4}= 2+ \sqrt{3}}\)

[Hazok]

skoro już się dyskusja rozwinełą to chciałbym się zapytać czy można to rozwiązać przy użyciu takiego sposobu:

\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+bx+c)*(x^{2}+dx+e)}\)
a=1 dlatego je pomijam
założenia to:
\(\displaystyle{ \Delta qslant 0}\)

[Lider_M]

Jasne, że możesz, o ile uda Ci się wyznaczyć \(\displaystyle{ b,c,d,e}\), niekiedy jest to bardzo trudne.