nierówność wielomianowa

[KabaL]

Zadanie to mam zrobione ale nie rozumiem jednej rzeczy.

Mam przykład i rozwiązanie ciągnie się tak:
\(\displaystyle{ \frac{ (x ^{2} +3)(x-2)(x+4)}{(x+2)(x-5)} <0

(x^2+3)(x-2)(x+4)(x+2)(x-5)<0}\)


Skąd pozbyliśmy się kreski ułamkowej?

[Vether]

Należy pomnożyć przez kwadrat mianownika obie strony nierówności.

[KabaL]

Jeszcze taki przykład

\(\displaystyle{ x^{5}-9x^{3}+ x^{2} -9 > 0

x ^{3}(x ^{2}-9)+( x^{2}-9) > 0

x^{3}(x-3)(x+3)+(x-3)(x+3) > 0}\)

Dalej nie wiem co zrobić

[mmoonniiaa]

Wyciągnij \(\displaystyle{ \left( x+3\right) \left( x-3\right)}\) przed nawias.

[KabaL]

\(\displaystyle{ x^{3}(x+3)(x-3) > 0}\)

Chyba coś źle zrobiłem ponieważ później herezje wychodzą.

[Vether]

Mhm... trochę okłamałeś.

\(\displaystyle{ x^{3}(x+3)(x-3)+(x+3)(x-3) > 0}\)

\(\displaystyle{ (x+3)(x-3)\left( x^3+1\right) >0}\)

[KabaL]

Skąd się za tam wzięło \(\displaystyle{ (x ^{3}+1)}\) ?

[mmoonniiaa]

Bo: \(\displaystyle{ x^{3}(x+3)(x-3)+\red 1 \black (x+3)(x-3)=(x+3)(x-3)(x^3+1)}\)

[KabaL]

Czyli nierówność ma tylko 3 rozwiązania? Bo niby jest \(\displaystyle{ x^{5}}\) a w takich przypadkach powinno ich być 5.

[mmoonniiaa]

Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział, a do przedziału należy nieskończenie wiele liczb. Natomiast jeśli pytasz o pierwiastki wielomianu stopnia piątego, to ma on co najwyżej pięć rozwiązań, więc może być ich mniej, tak jak w tym przypadku.
Np. równanie \(\displaystyle{ x^5+1=0}\) ma jeden pierwiastek, pięciokrotny: \(\displaystyle{ x=-1}\)
albo równanie \(\displaystyle{ x^2+3=0}\) nie ma żadnych pierwiastków rzeczywistych

[KabaL]

Źle napisałem ale chodziło mi właśnie o pierwiastki wielomianu Jeśli chodzi o rozwiązania to chyba nie doczytałem. Dzięki za pomoc.