Dzielenie wielomianów z parametrami

[bigadilew]

Czy może ktoś mi wytłumaczyć krok po kroku jak dzielić pisemnie wielomian np. \(\displaystyle{ x ^{4}+bx ^{3}+2x ^{2}+ax+1=0}\) przez \(\displaystyle{ x ^{2}+2x+1}\)
Chce się w końcu nauczyć dzielić z niewiadomymi

[piasek101]

Tak samo jak bez. Możesz podać do czego Ci to ?

[bigadilew]

Mam takie zadanie. Nauczyciel mówił o jakiś paczkach, chodziło mu raczej o nawiasy.

[piasek101]

Tak jak pisałem - dzielisz normalnie (tylko trochę te literki będą przeszkadzać); pokazujesz co dostajesz.

Chyba, że chodziło o ,,dla jakich a i b wielomian dzieli się przez ".

[Gouranga]

w tym konkretnym przypadku możesz zauważyć, że dwój dzielnik rozkłada się na iloczyn dwumianów liniowych
\(\displaystyle{ x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = (x+1)(x+1)}\)
a wielomian przez dwumian możesz dzielić szybko schematem Hornera

twój wielomian to:
\(\displaystyle{ W(x) = x ^{4}+bx ^{3}+2x ^{2}+ax+1}\)
a twój dwumian postaci \(\displaystyle{ (x-r)}\) to \(\displaystyle{ (x+1) \Rightarrow r= -1}\)

rysujesz tabelkę 2 wiersze i do góry wpisujesz współczynniki z wielomianu, pierwszy z nich spisujesz też na dół
\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c}
1 & b & 2 & a & 1\\
\hline
1 & & & &\end{array}}\)

i obowiązuje zasada: to z lewej razy r plus to z góry i jedziesz:

\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c}
1 & b & 2 & a & 1\\
\hline
1 & 1 \cdot (-1) + b & & &\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c}
1 & b & 2 & a & 1\\
\hline
1 & b-1 & (b-1)\cdot (-1) + 2 & &\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c}
1 & b & 2 & a & 1\\
\hline
1 & b-1 & 3-b &(3-b)\cdot (-1) + a &\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c}
1 & b & 2 & a & 1\\
\hline
1 & b-1 & 3-b & a+b-3 & (a+b-3)\cdot (-1) + 1\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c}
1 & b & 2 & a & 1\\
\hline
1 & b-1 & 3-b & a+b-3 & 4-a-b\end{array}}\)

i wiesz już, że:
\(\displaystyle{ (x^4 + bx^3 + 2x^2 + ax + 1) : (x+1) = x^3 + (b-1)x^2 + (3-b)x + a + b - 3\\
\\
W(-1) = 4 - a - b}\)

mam nadzieję że dość jasno wytłumaczyłem, Hornera warto znać.

oczywiście to nie koniec zadania, mając ten wynik powinieneś go jeszcze raz podzielić przez \(\displaystyle{ (x+1)}\) i dopiero będziesz miał swój wynik bo wyjściowo chciałeś dzielić przez \(\displaystyle{ x^2 + 2x +1}\)
to tak jakbyś zamiast dzielić od razu przez 4 podzielił na 2 (co zrobiłem za ciebie na przykładzie) i teraz jeszcze raz przez 2, chodzi o to, że dzielisz stopniowo przez dwumiany na które rozkładasz wyjściowy dzielnik

[piasek101]

w tym konkretnym przypadku możesz zauważyć, że dwój dzielnik rozkłada się na iloczyn dwumianów liniowych
\(\displaystyle{ x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = (x+1)(x+1)}\)
a wielomian przez dwumian możesz dzielić szybko schematem Hornera

Tylko mały szczegół - skąd wiesz, że reszta po pierwszym dzieleniu ma być zerem ?