Rozkładanie wielomianów na czynniki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
lakoc55
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 14 paź 2013, o 14:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lębork

Rozkładanie wielomianów na czynniki

Post autor: lakoc55 »

\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4}+9x ^{3} +x+4}\)
Proszę o przedstawienie kolejnych kroków. Ma wyjść \(\displaystyle{ W \left( x \right) = \left( x ^{2} +x+1 \right) \left( x+2 \right) \left( x-1 \right) \left( x-2 \right)}\).
Z góry dziękuję.
Ostatnio zmieniony 14 paź 2013, o 17:09 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Kod LaTeX-a otaczaj tagami [latex][/latex].
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Rozkładanie wielomianów na czynniki

Post autor: mortan517 »

Te wielomiany nie są sobie równe. Stopień pierwszego wynosi cztery, zaś drugiego 5.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Rozkładanie wielomianów na czynniki

Post autor: Mariusz M »

Ja znam dwa pomysły na to równanie

1. Rozkładasz wielomian na iloczyn dwóch trójmianów
Możesz tutaj zapisac wielomian w postaci różnicy kwadratów porównac współczynniki
i otrzymasz układ równań który prowadzi do równania trzeciego stopnia
Możesz wymnożyc trójmiany kwadratowe w postaci ogólnej porównac współczynniki
i dostac układ równań który prowadzi do równania szóstego stopnia które można zredukowac do równania trzeciego stopnia
Rozkład na iloczyn dwóch trójmianów uzyskasz także stosując metodę znaną także jako
uzupełnienie do kwadratu
Wielomian czwartego stopnia grupujesz w dwa nawiasy w jednym umieszczasz wyrazy
z \(\displaystyle{ x^4}\) oraz \(\displaystyle{ x^3}\) a w drugim trójmian kwadratowy
Wyrażenie w pierwszym nawiasie sprowadzasz do kwadratu używając wzorów skróconego mnożenia
a w drugim korzystając z wyróżnika trójmianu kwadratowego
(najpierw musisz go uzależnic od jakiejś zmiennej którą wprowadzasz tak aby wyrażenie z pierwszego
nawiasu nadal było kwadratem , w tym celu jeszcze raz korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia)
2. Pierwiastki równania czwartego stopnia wyrażasz jako sumę trzech z sześciu pierwiastków równania
szóstego stopnia sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia
Tutaj możesz skorzystac z pomysłów które działają także na równanie trzeciego stopnia
Stosujesz podstawienie które pozwala na ułożenie z otrzymanego równania
wzorów Viete dla równania trzeciego stopnia
albo zauważasz że współczynniki pewnego wielomianu szóstego stopnia są wielomianami symetrycznymi pierwiastków równania i mogą byc wyrażone przez wielomiany symetryczne podstawowe a co za tym idzie przez współczynniki wielomianu czwartego stopnia
(wzory Viete'a wiążą wielomiany symetryczne podstawowe ze współczynnikami wielomianu)


\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4}+9x ^{3} +x+4=0\\
\left( x^4+9x^3\right)-\left( -x-4\right)=0\\\
\left( x^4+9x^3+ \frac{81}{4}x^2 \right)-\left( \frac{81}{4}x^2-x-4 \right)=0\\
\left( x^2+ \frac{9}{2}x \right)^2-\left( \frac{81}{4}x^2-x-4 \right)=0\\
\left( x^2+\frac{9}{2}x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( y+\frac{81}{4}\right)x^2+\left( \frac{9}{2}y -1\right)x+ \frac{y^2}{4}-4 \right)=0\\
\left( y^2-16\right)\left( y+ \frac{81}{4} \right)-\left( \frac{9}{2}y -1\right)^2=0\\
y^3+ \frac{81}{4}y^2-16y-324- \frac{81}{4}y^2+9y-1=0\\
y^3-7y-325=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3-7\left( u+v\right)-325=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-7\left( u+v\right)-325=0\\
u^3+v^3-325+3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{7}{3} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3=325 \\ uv= \frac{7}{3} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=325 \\ u^3v^3= \frac{343}{27} \end{cases}\\
t^2-325t+\frac{343}{27}=0\\
t_{1}= \frac{325-\sqrt{ \frac{2850503}{27} }}{2}\\
t_{2}= \frac{325+\sqrt{ \frac{2850503}{27} }}{2}\\
y_{1}= \sqrt[3]{ \frac{325}{2}- \sqrt{ \frac{2850503}{108} } }+\sqrt[3]{ \frac{325}{2}+ \sqrt{ \frac{2850503}{108} } } \\
\left( x^2+\frac{9}{2}x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( y+\frac{81}{4}\right)x^2+\left( \frac{9}{2}y -1\right)x+ \frac{y^2}{4}-4 \right)=0\\
\left( x^2+\frac{9}{2}x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \frac{ \sqrt{4y+81} }{2}x+ \frac{ \frac{9}{2}y-1 }{ \sqrt{4y+81} } \right)^2=0\\
\left( x^2+\left( \frac{9-\sqrt{4y+81}}{2}\right) x+ \frac{y}{2}-\frac{ \frac{9}{2}y-1 }{ \sqrt{4y+81} } \right)\\ \left( x^2+\left( \frac{9+\sqrt{4y+81}}{2}\right) x+ \frac{y}{2}+\frac{ \frac{9}{2}y-1 }{ \sqrt{4y+81} } \right)=0\\}\)
Ostatnio zmieniony 14 paź 2013, o 21:32 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 2 razy.
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Rozkładanie wielomianów na czynniki

Post autor: loitzl9006 »

to ja trzecią metodę dołożę
3. Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu
szukasz takich pierwiastków
w tym celu wypisujesz sobie dzielniki wyrazu wolnego, w twoim przypadku dzielniki \(\displaystyle{ 4}\): czyli \(\displaystyle{ \pm 1, \pm 2, \pm 4}\)
jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu (czyli przy \(\displaystyle{ x^4}\) ) jest równy \(\displaystyle{ 1}\) (tutaj tak jest) to każdy z wypisanych dzielników wyrazu wolnego może być (nie musi) pierwiastkiem wymiernym wielomianu
kiedy dany dzielnik jest pierwiastkiem wielomianu? a wtedy, gdy po jego wstawieniu w miejsce \(\displaystyle{ x}\) dostaniesz \(\displaystyle{ 0}\). jak już znajdziesz pierwiastek to co dalej? korzystasz z twierdzenia że jeżeli liczba \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), to ten wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-a)}\) - i dzielisz \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-a)}\) - możesz zastosować schemat Hornera - jak nie znasz to wpisz w google coś wyskoczy na pewno
wynikiem dzielenia będzie jakiś wielomian 3-go stopnia - i tak samo - stosujesz do niego tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu wypisujesz dzielniki itd...
później dostaniesz wielomian 2-go stopnia - standardowo z delty, \(\displaystyle{ x_1, \ x_2}\) potem postać iloczynowa i to wszystko chyba
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Rozkładanie wielomianów na czynniki

Post autor: Mariusz M »

loitzl9006, tak tyle że ja już policzyłem pierwiastki tego wielomianu
są dwa rzeczywiste niewymierne i dwa wzajemnie sprzężone zespolone
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Rozkładanie wielomianów na czynniki

Post autor: loitzl9006 »

o rzeczywiście, nie będzie wymiernych byłem przekonany że coś jednak się znajdzie wymiernego
ODPOWIEDZ