Witajcie.
Męczy mnie caly wieczor takie oto równanie:
\(\displaystyle{ -2x ^{4}+4x ^{3}+6y ^{2}-16y-17=0}\)
Probowalam przeksztalcic do postaci:
\(\displaystyle{ u ^{4} +pu ^{2} +qu+r}\)
Wyszlo mi:
\(\displaystyle{ u ^{4} +1,5 u ^{2} +1u-3.5625}\)
Probowalam tez przeksztalcen obu stron do wzorow skroconego mnozenia, dodawalam parametr v itd
Ale stoje w miejscu. Mógłby ktoś mi trochę dokładniej wytłumaczyć metodę Ferrari np na tym przykladzie.
Bo w tych, ktore znalazlam dzielnik wyrazu wolnego jest rozwiazaniem- a u mnie nie.
Dziękuję za pomoc.
Równanie czwartego stopnia, problem przy metodzie Ferrari
-
mala25
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 12 paź 2013, o 00:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 1 raz
Równanie czwartego stopnia, problem przy metodzie Ferrari
Ostatnio zmieniony 12 paź 2013, o 09:09 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie czwartego stopnia, problem przy metodzie Ferrari
Zobacz sobie jak takie równania były rozwiązywane na forum
243327.htm
275801.htm
227371.htm
316940.htm
\(\displaystyle{ -2x ^{4}+4x ^{3}+6x ^{2}-16x-17=0\biggl|\left( -2\right)\\ 4x^{4}-8x^{3}-12x^2+32x+34=0\\ \left(4x^{4}-8x^{3} \right)-\left(12x^2-32x-34 \right)=0\\ \left(4x^{4}-8x^{3}+4x^2 \right)-\left(16x^2-32x-34 \right)=0\\ \left( 2x^2-2x\right)^2-\left(16x^2-32x-34 \right)=0\\ \left( 2x^2-2x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left(\left(2y+16\right)x^2+\left( -2y-32\right)x+ \frac{y^2}{4}-34 \right) =0 \\ \Delta=0\\ \left( y^2-136\right)\left( 2y+16\right)-\left(2y+32 \right)^2=0 \\ 2y^3+16y^2-272y-2176-4y^2-128y-1024=0\\ 2y^3+12y^2-400y-3200=0\\ y^3+6y^2-200y-1600=0\\ y_{1}=-10\\ -1000+600+2000-1600=0\\ y_{2}=2+2 \sqrt{41}\\ \left( 2x^2-2x+ \sqrt{41}+1 \right)^2-\left( \left( 4 \sqrt{41}+20 \right)x^2-\left( 4 \sqrt{41}+36 \right)x+\left( \sqrt{41}+1 \right)^2-34 \right) =0\\ \left( 2x^2-2x+ \sqrt{41}+1 \right)^2-\left( 2 \sqrt{ \sqrt{41}+5 }x- \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } } \right)^2=0\\ \left( 2x^2-2\left( 1+ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)x+ \sqrt{41}+1+\frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } } \right)\\\left(2x^2-2\left( 1- \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)x+ \sqrt{41}+1-\frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } } \right)=0\\}\)
Pierwiastki tego równania to parami sprzężone liczby zespolone
(jeżeli tam jest tylko x)
Teraz masz wielomian rozłożony na iloczyn dwóch trójmianów
i liczysz pierwiastki tych trójmianów
Jeżeli tam naprawdę masz \(\displaystyle{ y}\) to liczysz podobnie traktując go jako parametr
Do poczytania
243327.htm
275801.htm
227371.htm
316940.htm
\(\displaystyle{ -2x ^{4}+4x ^{3}+6x ^{2}-16x-17=0\biggl|\left( -2\right)\\ 4x^{4}-8x^{3}-12x^2+32x+34=0\\ \left(4x^{4}-8x^{3} \right)-\left(12x^2-32x-34 \right)=0\\ \left(4x^{4}-8x^{3}+4x^2 \right)-\left(16x^2-32x-34 \right)=0\\ \left( 2x^2-2x\right)^2-\left(16x^2-32x-34 \right)=0\\ \left( 2x^2-2x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left(\left(2y+16\right)x^2+\left( -2y-32\right)x+ \frac{y^2}{4}-34 \right) =0 \\ \Delta=0\\ \left( y^2-136\right)\left( 2y+16\right)-\left(2y+32 \right)^2=0 \\ 2y^3+16y^2-272y-2176-4y^2-128y-1024=0\\ 2y^3+12y^2-400y-3200=0\\ y^3+6y^2-200y-1600=0\\ y_{1}=-10\\ -1000+600+2000-1600=0\\ y_{2}=2+2 \sqrt{41}\\ \left( 2x^2-2x+ \sqrt{41}+1 \right)^2-\left( \left( 4 \sqrt{41}+20 \right)x^2-\left( 4 \sqrt{41}+36 \right)x+\left( \sqrt{41}+1 \right)^2-34 \right) =0\\ \left( 2x^2-2x+ \sqrt{41}+1 \right)^2-\left( 2 \sqrt{ \sqrt{41}+5 }x- \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } } \right)^2=0\\ \left( 2x^2-2\left( 1+ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)x+ \sqrt{41}+1+\frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } } \right)\\\left(2x^2-2\left( 1- \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)x+ \sqrt{41}+1-\frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } } \right)=0\\}\)
Pierwiastki tego równania to parami sprzężone liczby zespolone
(jeżeli tam jest tylko x)
Teraz masz wielomian rozłożony na iloczyn dwóch trójmianów
i liczysz pierwiastki tych trójmianów
Jeżeli tam naprawdę masz \(\displaystyle{ y}\) to liczysz podobnie traktując go jako parametr
Do poczytania
Kod: Zaznacz cały
http://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/1342/zip/
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf
-
mala25
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 12 paź 2013, o 00:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 1 raz
Równanie czwartego stopnia, problem przy metodzie Ferrari
Bardzo dziekuje za pomoc.
Udało mi się przeanalizowac zapis.
Rownanie rzeczywiscie bylo na samych x. Z nadmiaru zapiskow popelnilam blad.
Jeśli chodzi o pierwiastki trojmianu to doszlam do delty:
[tex 16-4 sqrt{41} + frac{32}{ sqrt{ sqrt{41} }+5 } ]
W jaki sposob moglabym to dalej doliczyc? Bo chyba ze zwyklej delty nie jestem w stanie tego zrobić.
Dziekuje za odpowiedz.
Udało mi się przeanalizowac zapis.
Rownanie rzeczywiscie bylo na samych x. Z nadmiaru zapiskow popelnilam blad.
Jeśli chodzi o pierwiastki trojmianu to doszlam do delty:
[tex 16-4 sqrt{41} + frac{32}{ sqrt{ sqrt{41} }+5 } ]
W jaki sposob moglabym to dalej doliczyc? Bo chyba ze zwyklej delty nie jestem w stanie tego zrobić.
Dziekuje za odpowiedz.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie czwartego stopnia, problem przy metodzie Ferrari
Jak już pisałem wyróżniki wychodzą ujemne więc pierwiastki będą parami sprzężone
(bo współczynniki wielomianu były rzeczywiste)
\(\displaystyle{ \left( 2x^2-2\left( 1+ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)x+ \sqrt{41}+1+\frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } } \right)\\\left(2x^2-2\left( 1- \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)x+ \sqrt{41}+1-\frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } } \right)=0\\
\Delta_{1}=4\left( 6+ \sqrt{41}+2 \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)-8\left( \sqrt{41}+1+ \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right)\\
\Delta_{2}=4\left( 6+ \sqrt{41}-2 \sqrt{ \sqrt{41}+5} \right)-8\left(\sqrt{41}+1- \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right) \\}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{1+ \sqrt{ \sqrt{41}+5 }- i\sqrt{2\left( \sqrt{41}+1+ \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right)-\left( 6+ \sqrt{41}+2 \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)} }{2}\\
x_{2}=\frac{1+ \sqrt{ \sqrt{41}+5 }+ i\sqrt{2\left( \sqrt{41}+1+ \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right)-\left( 6+ \sqrt{41}+2 \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)} }{2}\\
x_{3}= \frac{1- \sqrt{ \sqrt{41}+5 }-i \sqrt{2\left(\sqrt{41}+1- \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right)-\left( 6+ \sqrt{41}-2 \sqrt{ \sqrt{41}+5} \right)} }{2}\\
x_{4}= \frac{1- \sqrt{ \sqrt{41}+5 }+i \sqrt{2\left(\sqrt{41}+1- \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right)-\left( 6+ \sqrt{41}-2 \sqrt{ \sqrt{41}+5} \right)} }{2}\\}\)
(bo współczynniki wielomianu były rzeczywiste)
\(\displaystyle{ \left( 2x^2-2\left( 1+ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)x+ \sqrt{41}+1+\frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } } \right)\\\left(2x^2-2\left( 1- \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)x+ \sqrt{41}+1-\frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5 } } \right)=0\\
\Delta_{1}=4\left( 6+ \sqrt{41}+2 \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)-8\left( \sqrt{41}+1+ \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right)\\
\Delta_{2}=4\left( 6+ \sqrt{41}-2 \sqrt{ \sqrt{41}+5} \right)-8\left(\sqrt{41}+1- \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right) \\}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{1+ \sqrt{ \sqrt{41}+5 }- i\sqrt{2\left( \sqrt{41}+1+ \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right)-\left( 6+ \sqrt{41}+2 \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)} }{2}\\
x_{2}=\frac{1+ \sqrt{ \sqrt{41}+5 }+ i\sqrt{2\left( \sqrt{41}+1+ \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right)-\left( 6+ \sqrt{41}+2 \sqrt{ \sqrt{41}+5 } \right)} }{2}\\
x_{3}= \frac{1- \sqrt{ \sqrt{41}+5 }-i \sqrt{2\left(\sqrt{41}+1- \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right)-\left( 6+ \sqrt{41}-2 \sqrt{ \sqrt{41}+5} \right)} }{2}\\
x_{4}= \frac{1- \sqrt{ \sqrt{41}+5 }+i \sqrt{2\left(\sqrt{41}+1- \frac{ \sqrt{41}+9 }{ \sqrt{ \sqrt{41}+5} } \right)-\left( 6+ \sqrt{41}-2 \sqrt{ \sqrt{41}+5} \right)} }{2}\\}\)