równania i nierówności

[gatek]

Jeśli w złym dziale to przepraszam.

Mógłby ktoś rozwiązać poniższe przykłady. Albo chociaż powiedzieć jak się za nie zabrać(jakieś przekształcenia), ja nie mam fioletowego pojęcia.

a)\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+x ^{2}-2x-1=0}\)

b)\(\displaystyle{ \sqrt{x-2} + x>4}\)

[robertm19]

Zacznij od wyznaczenia dziedziny.

[gatek]

No to będzie tak:
a) \(\displaystyle{ x \in <-1, \infty )}\)
b)\(\displaystyle{ x \in <2, \infty )}\)
c)\(\displaystyle{ x \in <-4, \infty )}\)

Ale to i tak nie rozwiązuje problemu, że najnormalniej w świecie nie wiem jak to policzyć,

[robertm19]

\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+x ^{2}-2x-1=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=-x ^{2}+2x+1}\)
Teraz podnieść obustronnie do kwadratu
\(\displaystyle{ x+1=(-x ^{2}+2x+1)^2}\)

[gatek]

chyba coś źle rozwiązałam.
wyszły mi 3 rozwiązania :

\(\displaystyle{ x=0, x=3, x= \frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\)

w książce nie jest tylko \(\displaystyle{ x=0, x= \frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\)

[piasek101]

Do równań proponuję ,,analizę starożytnych". Bo podnosząc stronami do kwadratu dołożyłaś jedno rozwiązanie - nietrafione.

[robertm19]

Zauważ że \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}\ge 0}\) zawsze. Z drugiej strony równania
\(\displaystyle{ -x ^{2}+2x+1}\) też musi być większe bądź równe zero. Inaczej mielibyśmy, że coś dodatniego jest równe czemuś ujemnemu. Tak się dzieje w \(\displaystyle{ x=3}\).
Należy więc wyznaczyć jeszcze \(\displaystyle{ -x ^{2}+2x+1 \ge 0}\).

[gatek]

piasek co oznacza ta analiza starożytnych?

[piasek101]

Nie ustalasz dziedziny; robisz ,,na wariata"; sprawdzasz które z otrzymanych wyników spełniają wyjściowe równanie.

Właśnie do pierwiastkowych pomocna bardzo.

[gatek]

Czyli robertm19 musze rozszerzyć dziedzinę wynik rozwiązania \(\displaystyle{ -x ^{2}+2x+1 \ge 0}\)??-- 7 paź 2013, o 21:40 --powiedzmy, Piasek, że u mnie nie przejdzie zrobienie zadania bez dziedziny

[piasek101]

Dlatego piszesz ,,robię analizą starożytnych" i unikniesz problemów na jakie tu trafiłaś.

[gatek]

jednak chyba wolę klasycznie - z dziedziną.

[robertm19]

Dziedzina raczej się zawęzi. Może nie jasno się wyraziłem. Odrzucamy możliwości że z jednej strony wyjdzie coś dodatenigo (pierwiastek jest dodatni) a z drugiej coś ujemnego. W tym równaniu takiego rozwiązania nie ma. Zobacz co się dzieje dla\(\displaystyle{ x=3}\). Lewa strona wychodzi 2 a prawa -2. Sprzeczność w tym równaniu. Ale co się dzieje po podniesieniu do kwadratu? \(\displaystyle{ 4=4}\) i nie ma sprzeczności. Stąd ten dodatkowy zabieg.

[gatek]

nie bardzo Cie teraz zrozumiałam, Robert..
dziedzina będzie w tym przypadku \(\displaystyle{ D=<-1, 1+ \sqrt{2}>}\)???

[robertm19]

Tak, nie jestem nauczycielem ciężko mi przekazywać wiedzę
Ogólnie może, lewa strona jest dodatnia w równaniu \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=-x ^{2}+2x+1}\) zawsze, więc prawa też powinna być.