Równanie wielomianowe

Even94 · Post autor: **Even94** » 27 wrz 2013, o 22:38

Mógłby ktoś nasunąć mi sposób/pomysł rozwiązania tego równania ?

\(\displaystyle{ 4x^3-12x^2-9x+27=0}\)

yorgin · Post autor: **yorgin** » 27 wrz 2013, o 22:41

Mała wskazówka:

\(\displaystyle{ 4x^3-12x^2=4x^2(x-3)}\)

Even94 · Post autor: **Even94** » 27 wrz 2013, o 22:47

Czyli:

\(\displaystyle{ 4x^3-12x^2-9x+27=0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ 4x^2(x-3) - 9(x-3) = 0}\)?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 27 wrz 2013, o 22:48

Jak najbardziej. Dalej znów wyłącz jakiś czynnik i dostaniesz bardzo proste równanko.

Hajtowy · Post autor: **Hajtowy** » 27 wrz 2013, o 23:10

\(\displaystyle{ 4x^3-12x^2-9x+27=0}\)

\(\displaystyle{ 4x^2(x-3) - 9(x-3) = 0}\)

\(\displaystyle{ (4x^2-9)(x-3)=0}\)

Odp. \(\displaystyle{ x=3 \vee x= \frac{3}{2} \vee x= -\frac{3}{2}}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 wrz 2013, o 23:18

Even94, Hajtowy, tutaj dało się ładnie pogrupowac
ale tak z ciekawości zapytam próbowaliście redukowac stopień równania
odpowiednimi podstawieniami , bądź sprowadzac do wzoru na funkcje trygonometryczne
(sinus bądź cosinus) kąta potrojonego
Równanie ogólne najwygodniej jest rozwiązywac z użyciem zespolonych choc nie jest to konieczne

yorgin · Post autor: **yorgin** » 27 wrz 2013, o 23:38

mariuszm pisze: ale tak z ciekawości zapytam próbowaliście redukowac stopień równania
odpowiednimi podstawieniami , bądź sprowadzac do wzoru na funkcje trygonometryczne
(sinus bądź cosinus) kąta potrojonego
Równanie ogólne najwygodniej jest rozwiązywac z użyciem zespolonych choc nie jest to konieczne

Żadna z tych metod na etapie szkolnym się nie pojawia.Nie liczyłbym więc na pozytywną odpowiedź.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 28 wrz 2013, o 00:07

Natomiast na etapie szkolnym pojawia się metoda sprawdzająca czy wielomian o współczynnikach całkowitych posiada pierwiastek wymierny. I to ona jest stosowana gdy nie udaje się grupowanie.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 28 wrz 2013, o 00:16

Mamy równanie

\(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}\)

1. Stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
aby sprowadzic równanie do postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)

2a. Używamy podstawienia \(\displaystyle{ y=u+v}\) aby uzyskac równanie
które można przekształcic w układ równań który przypomina wzory Viete dla
równania kwadratowego o pierwiastkach \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
(Jeżeli układ równań potraktujemy jako wzory Viete trójmianu kwadratowego
łatwo dostaniemy jego współczynniki)

2b. Używamy podstawienia \(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\)
aby uzyskac równanie które po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ u^3}\)
będzie równaniem kwadratowym na \(\displaystyle{ u^3}\)
(tutaj trzeba uważac na zerowe pierwiastki równania kwadratowego
przypadek ten załatwiają jednak wzory skróconego mnożenia)

3. Jeżeli otrzymane równanie kwadratowe nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych
to wracamy do równania \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
Zauważamy że jest ono bardzo podobne do wzorów na funkcje trygonometryczne
(sinus bądź cosinus) kąta potrojonego
(Jeżeli nie pamiętamy tego wzoru to dostaniemy go ze wzoru na cosinus sumy(różnicy))
Stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ y=u\cos{ \alpha }}\) wstawiamy do równania i wyznaczamy
takie \(\displaystyle{ u}\) aby równanie przekształcic we wzór na cosinus kąta potrojonego
(Po drodze przydałoby się zdefiniowac funkcje odwrotną do cosinusa aby obliczyc kąt)

Jak ja chodziłem do szkoły to wszystkie potrzebne rzeczy do zaprojektowania tej metody
były już w liceum

liu · Post autor: **liu** » 28 wrz 2013, o 01:26

Czyli innymi słowy chcesz wyprowadzać wzory Cardano aby rozwiązać równanie trzeciego stopnia, aby rozwiązać równanie które ma 3 łatwo zgadywalne pierwiastki?