Matematyka.pl

1) Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W\left( x\right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c}\) ,gdzie \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{Q}}\)
Pierwiastkami tego wielomianu są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ u,v}\) i \(\displaystyle{ u \cdot v}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a \neq 1}\), to \(\displaystyle{ u \cdot v \in \mathbb{Q}}\).

2) Dla jakich \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\) pierwiastki równania \(\displaystyle{ 3x ^{3} - 3mx ^{2} + 3x - 2 = 0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x _{1} ^{3} + x _{2} ^{3} + x _{3} ^{3} = 0}\).

Z góry dzięki za rozwiązania, zwłaszcza te z komentarzem

W obu przykładach zastosuj wzory Viete'a. W drugim musisz ogólnie znaleźć tożsamość na sumę trzech sześcianów.

A może jeszcze jakaś podpowiedź?

jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastek \(\displaystyle{ x_0}\) to można go przedstawić jako \(\displaystyle{ P(x) \cdot (x-x_0)}\). W pierwszym wiesz, że \(\displaystyle{ uv}\) jest pierwiastkiem, z wzoru Viete'a wynika że w tym przypadku \(\displaystyle{ uv = (-1)^3 \frac{c}{1} = -c}\) więc \(\displaystyle{ W(x) = P(x)(x+c)}\)
natomiast \(\displaystyle{ P(x)}\) powinieneś móc rozbić jeszcze na \(\displaystyle{ (x-u)(x-v)}\)

W drugim policz coś takiego \(\displaystyle{ \left( a+b+c\right)\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}\) i kombinuj z tym tak, by wyszła suma sześcianów.

Gouranga pisze:z wzoru Viete'a wynika że w tym przypadku \(\displaystyle{ uv = (-1)^3 \frac{c}{1} = -c}\)

Tego nie rozumiem. Czy to \(\displaystyle{ c}\), to jest \(\displaystyle{ c}\) z treści zadania czy jakieś inne? Jeśli z treści zadania, to raczej \(\displaystyle{ u^2v^2=-c}\) (iloczyn wszystkich pierwiastków).

Mnie wychodzi, że \(\displaystyle{ uv=\frac{b-c}{1-a}}\). Ktoś się z tym zgadza?

Kamaz pisze:Mnie wychodzi, że \(\displaystyle{ uv=\frac{b-c}{1-a}}\). Ktoś się z tym zgadza?

Tak, tyle wychodzi.

Łatwo też podać kontrprzykład na istotność założenia \(\displaystyle{ a\neq 1}\), jest to na przykład:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3+x^2-2x-2}\)

Q.

słusznie, mój błąd bo są pierwiastki wielokrotne, przepraszam za sianie fermentu

Gouranga pisze:są pierwiastki wielokrotne

Na ogół nie.

Q.