Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 6 maja 2013, o 17:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?
1) Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W\left( x\right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c}\) ,gdzie \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{Q}}\)
Pierwiastkami tego wielomianu są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ u,v}\) i \(\displaystyle{ u \cdot v}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a \neq 1}\), to \(\displaystyle{ u \cdot v \in \mathbb{Q}}\).
2) Dla jakich \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\) pierwiastki równania \(\displaystyle{ 3x ^{3} - 3mx ^{2} + 3x - 2 = 0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x _{1} ^{3} + x _{2} ^{3} + x _{3} ^{3} = 0}\).
Z góry dzięki za rozwiązania, zwłaszcza te z komentarzem
Pierwiastkami tego wielomianu są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ u,v}\) i \(\displaystyle{ u \cdot v}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a \neq 1}\), to \(\displaystyle{ u \cdot v \in \mathbb{Q}}\).
2) Dla jakich \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\) pierwiastki równania \(\displaystyle{ 3x ^{3} - 3mx ^{2} + 3x - 2 = 0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x _{1} ^{3} + x _{2} ^{3} + x _{3} ^{3} = 0}\).
Z góry dzięki za rozwiązania, zwłaszcza te z komentarzem
-
- Użytkownik
- Posty: 1592
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 246 razy
Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?
jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastek \(\displaystyle{ x_0}\) to można go przedstawić jako \(\displaystyle{ P(x) \cdot (x-x_0)}\). W pierwszym wiesz, że \(\displaystyle{ uv}\) jest pierwiastkiem, z wzoru Viete'a wynika że w tym przypadku \(\displaystyle{ uv = (-1)^3 \frac{c}{1} = -c}\) więc \(\displaystyle{ W(x) = P(x)(x+c)}\)
natomiast \(\displaystyle{ P(x)}\) powinieneś móc rozbić jeszcze na \(\displaystyle{ (x-u)(x-v)}\)
natomiast \(\displaystyle{ P(x)}\) powinieneś móc rozbić jeszcze na \(\displaystyle{ (x-u)(x-v)}\)
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?
W drugim policz coś takiego \(\displaystyle{ \left( a+b+c\right)\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}\) i kombinuj z tym tak, by wyszła suma sześcianów.
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2013, o 20:34 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa nawiasów.
Powód: Poprawa nawiasów.
Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?
Tego nie rozumiem. Czy to \(\displaystyle{ c}\), to jest \(\displaystyle{ c}\) z treści zadania czy jakieś inne? Jeśli z treści zadania, to raczej \(\displaystyle{ u^2v^2=-c}\) (iloczyn wszystkich pierwiastków).Gouranga pisze:z wzoru Viete'a wynika że w tym przypadku \(\displaystyle{ uv = (-1)^3 \frac{c}{1} = -c}\)
Mnie wychodzi, że \(\displaystyle{ uv=\frac{b-c}{1-a}}\). Ktoś się z tym zgadza?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?
Tak, tyle wychodzi.Kamaz pisze:Mnie wychodzi, że \(\displaystyle{ uv=\frac{b-c}{1-a}}\). Ktoś się z tym zgadza?
Łatwo też podać kontrprzykład na istotność założenia \(\displaystyle{ a\neq 1}\), jest to na przykład:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3+x^2-2x-2}\)
Q.