Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
soszu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 6 maja 2013, o 17:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?

Post autor: soszu » 25 wrz 2013, o 18:30

1) Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W\left( x\right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c}\) ,gdzie \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{Q}}\)
Pierwiastkami tego wielomianu są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ u,v}\) i \(\displaystyle{ u \cdot v}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a \neq 1}\), to \(\displaystyle{ u \cdot v \in \mathbb{Q}}\).

2) Dla jakich \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\) pierwiastki równania \(\displaystyle{ 3x ^{3} - 3mx ^{2} + 3x - 2 = 0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x _{1} ^{3} + x _{2} ^{3} + x _{3} ^{3} = 0}\).

Z góry dzięki za rozwiązania, zwłaszcza te z komentarzem
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

kacper218
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 11 lis 2012, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 38 razy

Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?

Post autor: kacper218 » 25 wrz 2013, o 18:37

\(\displaystyle{ u\cdot v=...}\)

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?

Post autor: Ponewor » 25 wrz 2013, o 18:45

W obu przykładach zastosuj wzory Viete'a. W drugim musisz ogólnie znaleźć tożsamość na sumę trzech sześcianów.

soszu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 6 maja 2013, o 17:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?

Post autor: soszu » 25 wrz 2013, o 18:53

A może jeszcze jakaś podpowiedź?

Awatar użytkownika
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1446
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 218 razy

Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?

Post autor: Gouranga » 25 wrz 2013, o 19:43

jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastek \(\displaystyle{ x_0}\) to można go przedstawić jako \(\displaystyle{ P(x) \cdot (x-x_0)}\). W pierwszym wiesz, że \(\displaystyle{ uv}\) jest pierwiastkiem, z wzoru Viete'a wynika że w tym przypadku \(\displaystyle{ uv = (-1)^3 \frac{c}{1} = -c}\) więc \(\displaystyle{ W(x) = P(x)(x+c)}\)
natomiast \(\displaystyle{ P(x)}\) powinieneś móc rozbić jeszcze na \(\displaystyle{ (x-u)(x-v)}\)

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?

Post autor: Ponewor » 25 wrz 2013, o 20:20

W drugim policz coś takiego \(\displaystyle{ \left( a+b+c\right)\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}\) i kombinuj z tym tak, by wyszła suma sześcianów.
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2013, o 20:34 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa nawiasów.

Kamaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 13 kwie 2013, o 13:44
Płeć: Kobieta
Pomógł: 21 razy

Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?

Post autor: Kamaz » 25 wrz 2013, o 22:27

[quote="Gouranga"]z wzoru Viete'a wynika że w tym przypadku \(\displaystyle{ uv = (-1)^3 \frac{c}{1} = -c}\) [/quote]
Tego nie rozumiem. Czy to \(\displaystyle{ c}\), to jest \(\displaystyle{ c}\) z treści zadania czy jakieś inne? Jeśli z treści zadania, to raczej \(\displaystyle{ u^2v^2=-c}\) (iloczyn wszystkich pierwiastków).

Mnie wychodzi, że \(\displaystyle{ uv=\frac{b-c}{1-a}}\). Ktoś się z tym zgadza?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2627 razy

Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?

Post autor: » 25 wrz 2013, o 23:06

Kamaz pisze:Mnie wychodzi, że \(\displaystyle{ uv=\frac{b-c}{1-a}}\). Ktoś się z tym zgadza?
Tak, tyle wychodzi.

Łatwo też podać kontrprzykład na istotność założenia \(\displaystyle{ a\neq 1}\), jest to na przykład:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3+x^2-2x-2}\)

Q.

Awatar użytkownika
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1446
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 218 razy

Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?

Post autor: Gouranga » 25 wrz 2013, o 23:51

słusznie, mój błąd bo są pierwiastki wielokrotne, przepraszam za sianie fermentu

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2627 razy

Dwa dowody-wielomiany- średnio_trudne?

Post autor: » 25 wrz 2013, o 23:58

Gouranga pisze:są pierwiastki wielokrotne
Na ogół nie.

Q.

ODPOWIEDZ