Znajdź wszystkie wielomiany W, dla których zachodzi równość

[soszu]

Znajdź wszystkie wielomiany W, dla których zachodzi równość:

a) \(\displaystyle{ \left( x-10\right) \cdot W\left( x\right) = x \cdot W\left( x-1\right)}\)
b) \(\displaystyle{ x \cdot W\left( x-1\right) = \left( x-2\right) \cdot W\left( x\right)}\)

Z góry dzięki za pomoc, bo to zadanie trochę mnie przerasta

[Qń]

Jeśli w podpunkcie b) położysz za \(\displaystyle{ x}\) kolejno \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 2}\), to otrzymasz, że \(\displaystyle{ W(0)=W(1)=0}\), a stąd z twierdzenia Bezout jest:
\(\displaystyle{ W(x)=x(x-1)V(x)}\)
dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ V}\).

Jeśli wstawimy tę równość do wyjściowego równania, to dostajemy:
\(\displaystyle{ x(x-1)(x-2)V(x-1)= (x-2)x(x-1)V(x)}\)
skąd
\(\displaystyle{ V(x-1)=V(x)}\)
to zaś oznacza, że wielomian \(\displaystyle{ V}\) przyjmuje taką samą wartość w nieskończenie wielu punktach, a zatem musi być wielomianem stałym. Tak więc:
\(\displaystyle{ W(x)=ax(x-1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}}\).

Po sprawdzeniu, że rodzina takich wielomianów spełnia wyjściowe równanie, otrzymujemy ją jako jedyne rozwiązanie tego równania.

Jeśli zrozumiałeś ideę, nie powinieneś mieć kłopotów z podpunktem a).

Q.