Wszystkie wielomiany niezerowe W spełniające róznanie

[soszu]

Wyznacz wszystkie wielomiany niezerowe W spełniające równanie:

\(\displaystyle{ 2W\left( x\right) + W\left( 1-x\right)=x ^{2}}\)

Będę wdzięczny za odpowiedź razem ze wskazówkami, jak doszliście do poszczególnych etapów rozwiązanie .

[szw1710]

Stopień sumy tych wielomianów po lewej jest identyczny jak stopień \(\displaystyle{ W(x)}\), albowiem współczynnik wiodący się nie może wyzerować. Jeśli \(\displaystyle{ W(x)=ax^n+\dots}\), to współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x^n}\) po lewej jest \(\displaystyle{ 2a+(-1)^na}\), co się nie wyzeruje, gdy \(\displaystyle{ a\ne 0}\).

Zatem \(\displaystyle{ W(x)}\) jest kwadratowy. Mamy stąd \(\displaystyle{ W(x)=ax^2+bx+c}\). Policz lewą stronę i porównaj współczynniki.

[Qń]

Inaczej: wystarczy położyć \(\displaystyle{ x\to 1-x}\) otrzymując równość:
\(\displaystyle{ 2W(1-x) +W(x)= (1-x)^2}\)
i odjąć od niej dwukrotność wyjściowej:
\(\displaystyle{ -3W(x) = (1-x)^2-2x^2}\)
skąd łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ W}\) (nie wolno przy tym zapomnieć o sprawdzeniu, że otrzymany wielomian spełnia wyjściowe równanie).

Q.

[szw1710]

Ze swojej strony polecam przestudiowanie najpierw rozwiązania Qń-a. Moje jest uniwersalne, ale bez nutki piękna. Poza tym rozwiązanie Qń-a uczy warsztatu, można poznać pewne sztuczki, tricki itp.

[soszu]

Może głupie pytanie, ale co znaczy

położyć

?

[szw1710]

Podstawić \(\displaystyle{ 1-x}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\). To taki żargon matematyczny. Po angielsku będzie put \(\displaystyle{ 1-x}\) instead of \(\displaystyle{ x}\). Jest to dość często stosowane w literaturze