Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
KonMatematyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: KonMatematyczny »

Mam problem z zadaniem z wielomianem.

mamy podany wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=nx^3-(n+1)x^2-(n+2)x+n+3}\)

musimy znaleźć takie \(\displaystyle{ n \in N _{+}}\) dla których suma pierwiastków tego wielomianu jest największa, a także określić ile jest równa ta suma.

Proszę o pomoc
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: bakala12 »

Jedynka jest pierwiastkiem. A tak w ogóle to pierwiastki mają być rzeczywiste czy akceptujemy też zespolone?
szw1710

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: szw1710 »

Są wzory Viete'a :) Mianowicie dla \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) mamy \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}}\). :)

Pozostałe wzory: \(\displaystyle{ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}}\), \(\displaystyle{ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}}\).

Oznaczenia standardowe.
KonMatematyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: KonMatematyczny »

Kompletnie mi nie pomogłeś. KOMPLETNIE
Co prawda doszedłem do tego, że jednym z pierwiastków jest 1, ale są też inne pierwiastki. Dlatego proszę o pomoc. Najlepiej od samego początku.

-- 22 wrz 2013, o 20:25 --
szw1710 pisze:Są wzory Viete'a :) Mianowicie dla \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) mamy \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}}\). :)

Pozostałe wzory: \(\displaystyle{ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}}\), \(\displaystyle{ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}}\).

Oznaczenia standardowe.
Dzieki, zaraz sprawdzę co z tym mogę zrobić
szw1710

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: szw1710 »

Kompletnie mi nie pomogłeś. KOMPLETNIE
Wiem, że to nie do mnie, ale wyrażasz się niegrzecznie. Kolega bakala12 przez poczucie taktu pewnie nic nie powie, ale mnie to mocno razi.
KonMatematyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: KonMatematyczny »

szw1710 pisze:
Kompletnie mi nie pomogłeś. KOMPLETNIE
Wiem, że to nie do mnie, ale wyrażasz się niegrzecznie. Kolega bakala12 przez poczucie taktu pewnie nic nie powie, ale mnie to mocno razi.
Kiedy pisałem ten komentarz wiadomość wyglądała tak:

Jedynka jest pierwiastkiem.

Także średnio mi to pomogło.

Przepraszam bakala12 jeżeli poczułes się urażony

-- 22 wrz 2013, o 20:38 --

Bardzo fajny sposób i krótki, ale w jaki sposób mógłbym się zabrać za to zadanie bez wzorów Vieta?
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: bosa_Nike »

Należałoby wtedy dopuścić możliwość, że odpowiadający na pytania czasem wiedzą, co piszą i wykorzystać podpowiedź.
Jedynka jest pierwiastkiem.
Tzn. da się wyłączyć z wielomianu czynnik \(\displaystyle{ (x-1)}\), da się obliczyć pierwiastki powstałego w ten sposób trójmianu kwadratowego i da się je zsumować ze sobą i z jedynką.
bakala12 pisze:A tak w ogóle to pierwiastki mają być rzeczywiste czy akceptujemy też zespolone?
Wg mnie to jest bez znaczenia.
KonMatematyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: KonMatematyczny »

bosa_Nike pisze:da się wyłączyć z wielomianu czynnik \(\displaystyle{ (x-1)}\), da się obliczyć pierwiastki powstałego w ten sposób trójmianu kwadratowego i da się je zsumować ze sobą i z jedynką.
interesował by mnie sensowny zapis tego rozwiązania

doszedłem do tego:
\(\displaystyle{ (x-1)(nx^2-x-n-3)}\)

Teraz należy skorzystać ze wzoru Vieta, jednak jeżeli ktoś potrafi to ładnie zapisać to prosiłbym o ten zapis.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: bakala12 »

bakala12 pisze: A tak w ogóle to pierwiastki mają być rzeczywiste czy akceptujemy też zespolone?
Wg mnie to jest bez znaczenia.
A według mnie ma to znaczenie. Zadanie wygląda na poziom liceum, a tam nie mówi się o liczbach zespolonych. Z drugiej jednak strony używając wzorów Viete'a dla równania sześciennego nie zapewniamy sobie tego, że wszystkie pierwiastki są rzeczywiste.
Do rzeczy.
Teraz należy skorzystać ze wzoru Vieta, jednak jeżeli ktoś potrafi to ładnie zapisać to prosiłbym o ten zapis.
A ja bym jednak bardzo nalegał, żebyś to Ty zapisał.
Pamiętaj o warunku \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\), jeżeli chcesz żeby pierwiastki były rzeczywiste, jeśli mogą być zespolone to Deltą w ogóle się nie przejmujesz.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: bosa_Nike »

Moim zdaniem, w świetle polecenia do zadania, nie ma to znaczenia. Mamy przecież do czynienia z wielomianami o współczynnikach rzeczywistych. Rozwiązujący nie znający liczb zespolonych może nie potrafi wyrazić jawnie pierwiastków trójmianu o ujemnym wyróżniku, ale raczej potrafi wyrazić ich sumę, która od pierwiastka z wyróżnika nie zależy. Nie musi znać wzorów Viete'a, tj. nie musi wiedzieć, że je zna. Wystarczy zsumować wzory na pierwiastki w takiej postaci, w jakiej są podawane w szkole, a później dopiero podstawić współczynniki trójmianu. Pierwiastki zespolone są parami sprzężone, więc wynik będzie rzeczywisty zawsze - tego też rozwiązujący nie musi wiedzieć, by zadanie rozwiązać.
Kamaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 13 kwie 2013, o 13:44
Płeć: Kobieta
Pomógł: 21 razy

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: Kamaz »

Uważam, że pytanie Pana Bakali jest sensowne. Jeśli rozpatrujemy tylko pierwiastki rzeczywiste, to przez "sumę pierwiastków" rozumiemy sumę pierwiastków rzeczywistych.

W każdym razie wielomian kwadratowy \(\displaystyle{ nx^2-x-n-3}\) dla \(\displaystyle{ n}\) naturalnego dodatniego ma dwa pierwiastki rzeczywiste, bo wartość w zerze jest ujemna a współczynnik wiodący dodatni.
szw1710

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: szw1710 »

Zauważmy, że wielomian trzeciego stopnia ma zawsze pierwiastek rzeczywisty. Więc jeśli ma też pierwiastki zespolone, to są one dwa i to wzajemnie sprzężone (bo wielomian ma współczynniki rzeczywiste). Tak więc suma pierwiastków zawsze jest liczbą rzeczywistą :-)

Mamy teraz wielomian trzeciego stopnia \(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), przy czym \(\displaystyle{ a\ne 0,\;a,b,c,d\in\RR.}\) Mamy trzy pierwiastki \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) (z zasadniczego twierdzenia algebry), ewentualnie są wśród nich liczby zespolone. Korzystając z tw. Bezouta rozkładamy na czynniki liniowe:

\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).}\)

skąd po wymnożeniu nawiasów mamy

\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=a\bigl(x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3\bigr).}\)

Po porównaniu współczynników dostajemy wzory Viete'a:

\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},\;x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a},\;x_1x_2x_3=\frac{d}{a}}\).

Identyczną metodą dostajemy wzory Viete'a dla wielomianów wyższych stopni. Sztuczka: wielomiany symetryczne podstawowe (analogiczne do tych powyżej zawierających \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\)).

Przy okazji udowodniło mi się wzory Viete'a. Ale nieprzypadkowo. Chciałem pokazać, że to czy mamy pierwiastki rzeczywiste czy zespolone, nie ma w tej kwestii żadnego znaczenia. Ich suma zawsze jest rzeczywista. Pozostałe wielkości ze wzorów Viete'a oczywiście też. Zasadnym więc jest pytanie o maksymalizację sumy pierwiastków. Ale tu kwestia czy rzeczywiste czy też zespolone, może mieć znaczenie.

Jeszcze to podrążę. Powiedzmy, że mamy wielomian \(\displaystyle{ (x-1)(x^2-4x+5)}\). Suma pierwiastków rzeczywistych to \(\displaystyle{ 1}\). Natomiast suma zespolonych to \(\displaystyle{ 5}\) - jest większa. Podobny wielomian \(\displaystyle{ (x-1)(x^2+4x+5)}\) ma sumę rzeczywistą też \(\displaystyle{ 1}\), a zespoloną \(\displaystyle{ -3}\). A więc mniejszą.

Konkludując sprawę, rozwiązanie z trójmianem kwadratowym chyba na poziomie szkolnym jest lepsze niż to proponowane przeze mnie ze wzorami Viete'a dla wielomianów trzeciego stopnia. Chyba że od razu założymy, że wchodzą w grę także pierwiastki zespolone.
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2013, o 15:44 przez szw1710, łącznie zmieniany 2 razy.
Kamaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 13 kwie 2013, o 13:44
Płeć: Kobieta
Pomógł: 21 razy

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: Kamaz »

Nikt tu nie kwestionuje tego, że suma wszystkich pierwiastków jest liczbą rzeczywistą. Chodzi o to, że gdy rozpatrujemy tylko rzeczywiste pierwiastki, to na przykład suma pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ x^4+x^3-x-1}\) jest równa \(\displaystyle{ 1+(-1)=0}\) a nie \(\displaystyle{ -1}\), jak by wynikało ze wzorów Viète’a.
szw1710

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: szw1710 »

Trafiłaś w sedno. Ja w tzw. międzyczasie* uzupełniłem swój post. Gratuluję przenikliwości.
Ukryta treść:    
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Suma pierwiastków wielomianu z parametrem

Post autor: bosa_Nike »

Spoko. Dzięki za spojrzenie na sprawę pod nieco innym kątem. To ma sens i podoba mi się.

Unikanie dowolności interpretacyjnej szczególnie warto brać pod uwagę, gdy się np. układa zadania, które z założenia mają sprawdzić opanowanie materiału, a nie marnować czas rozwiązującego na zastanawianie się, co autor miał na myśli. Dopuszczanie przez autorów do sytuacji, gdzie trudność zadania polega na trafieniu we "właściwą" interpretację jednakowo sensownych treści, jeśli jest zamierzone, jest moim zdaniem mocno nieuczciwe, jeśli zaś jest przypadkowe, to jest błędem samych autorów. Kiedy mam wątpliwości, których nie umiem jednoznacznie rozwiać, to, w miarę umiejętności, staram się rozszerzać, a nie zawężać rozumienie pojęć, ale to ja.
W przypadku tego konkretnego zadania takiej dowolności nie było, a dyskusja wyniknęła właściwie przy okazji. I msz dobrze się stało.

Edit: Zmieniłam brzmienie wiadomości, by pozbyć się mogącego budzić wątpliwości skrótu myślowego.
ODPOWIEDZ