Podzielność wielomianu, rozkład na czynniki.

[umiemznikac]

1. Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian P(x). Znajdź wynik dzielenia wielomianu W(x) przez P(x), jeśli:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-6x+4}\); \(\displaystyle{ P(x) = x-2}\)

2. Rozłóż na czynniki wielomian W(x) wiedząc, że liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x):
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+4x^{2}+x-6, p=1}\)

3. Rozłóż na czynniki wielomian W(x):
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}\)

Z pierwszym nie mogę dać sobie rady dlatego, że tam "brakuje" \(\displaystyle{ x^{2}}\). Co do drugiego: W(x) trzeba podzielić przez dwumian \(\displaystyle{ x-1}\), wyjdzie jakieś Q(x) i zapisać w postaci \(\displaystyle{ Q(x)*(x-p)}\), tak? Próbowałem parę razy i nie chce mi wyjsc tak jak w odpowiedziach. W 3 po prostu nie wiem jak to rozłożyć - proszę o wytłumaczenie.

[ucwmiu]

W pierwszym nie brakuje \(\displaystyle{ x^{2}}\), tylko współczynnik przy nim jest równy \(\displaystyle{ 0}\). Tak należy zapisać współczynniki przy użyciu schematu Hornera i wyjdzie, łachy ni robi .
Co do drugiego, to masz rację, jeżeli chodzi o trzeci, to zauważ, że pierwiastkiem tego wielomianu jest \(\displaystyle{ 1}\), skożystaj z tw. Bezout`a

W razie pytań, pisz.

[umiemznikac]

Pierwsze mi wyszło ok, brakowało mi tego \(\displaystyle{ 0}\) co do drugiego, mógłbyś spróbować podzielić tabelką? Jak podzielę \(\displaystyle{ x^{3}+4x^{2}+x-6}\) przez \(\displaystyle{ x-1}\) to wychodzi \(\displaystyle{ x^{3} +4x^{2}+5x-1}\) - czyli źle, nie mam pojęcia co robię nie tak. A co do trzeciego w jaki sposób szybko zauważyć, że na przykład \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu?

[ucwmiu]

Co do trzeciego, to suma współczynników przy "iksach" na plusie jest taka sama, jak przy "iksach" na minusie , a tak naprawdę, to jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli w tym przypadku liczby \(\displaystyle{ 4}\) - liczba kandydatów jest ograniczona I oczywiście się rąbnąłem - \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Podziel w trzecim wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) - będziesz miał wtedy:

\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)\cdot Q(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest wielomianem stopnia drugiego

Uwaga do przykładu drugiego: Jak podzielisz wielomian stopnia trzeciego przez wielomian stopnia pierwszego, musi wyjść wielomian stopnia drugiego! (dlaczego?)

W drugim mi wyszło:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c|c}
& 1 & 4 & 1 & -6 \\ \hline
1 & 1 & 5 & 6 & 0 \\
\end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ x^{2} + 5x + 6}\).

[umiemznikac]

Trzecie już czuję a co do drugiego to błąd miałem taki, że według mnie \(\displaystyle{ 1*1+4=4}\)........ A jeśli podzielę wielomian stopnia trzeciego przez wielomian stopnia pierwszego to wyjdzie wielomian stopnia drugiego dlatego, że reszta ma stopień o 1 mniejszy niż stopień wielomianu przez który dzielimy dzięki za pomoc!!



Teraz moja tabelka wygląda tak jak Twoja

[ucwmiu]

Wrzuciłem tabelkę