Podzielność wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
push
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 146
Rejestracja: 19 wrz 2013, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 8 razy

Podzielność wielomianu

Post autor: push »

Wielomian \(\displaystyle{ W \left( x \right)}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ P \left( x \right)}\). Znajdź wynik dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W \left( x \right)}\) przez \(\displaystyle{ P \left( x \right)}\), jeśli

a) \(\displaystyle{ W \left( x \right) =2x ^{3}+ x^{2} -x+10}\)
\(\displaystyle{ P \left( x \right) = x+2}\)

b) \(\displaystyle{ W \left( x \right) = x^{4}+3 x^{3} -4 x^{2} -5x+1}\)
\(\displaystyle{ P \left( x \right) =x-1}\)
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2013, o 12:43 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Podzielność wielomianu

Post autor: loitzl9006 »

a) masz wielomian stopnia trzeciego podzielić przez wielomian stopnia pierwszego - a więc wiadomo że wynik takiego dzielenia będzie wielomianem stopnia drugiego jakieś \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) należy wyznaczyć. A z tego, że \(\displaystyle{ W(x):P(x)=ax^2+bx+c}\) wynika, że \(\displaystyle{ W(x)=P(x)\cdot\left( ax^2+bx+c\right)}\) zatem
\(\displaystyle{ 2x^3+x^2-x+10=\left( x+2\right)\cdot \left( ax^2+bx+c\right) \\ 2x^3+x^2-x+10=ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c \\ 2x^3+x^2-x+10=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c}\)

Porównujesz współczynniki przed \(\displaystyle{ x^3, x^2, x}\), wyrazy wolne po lewej i prawej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2=a \\ 1=b+2a \\ -1=c+2b \\ 10=2c \end{cases}}\)

wyliczasz z tego układu \(\displaystyle{ a,b,c}\)

b) tutaj wynikiem dzielenia będzie wielomian trzeciego stopnia, i analogicznie robisz jak a)
Awatar użytkownika
push
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 146
Rejestracja: 19 wrz 2013, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 8 razy

Podzielność wielomianu

Post autor: push »

A nie łatwiej skorzystać z dzielenia wielomianu przez dwumian?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Podzielność wielomianu

Post autor: yorgin »

Skoro zadajesz takie pytanie, to w czym w zasadzie masz problem w tym zadaniu?
Awatar użytkownika
push
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 146
Rejestracja: 19 wrz 2013, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 8 razy

Podzielność wielomianu

Post autor: push »

Chodzi mi o najlepszy sposób na rozwiązanie tego zadania.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Podzielność wielomianu

Post autor: yorgin »

A jakie znasz sposoby? Dzielenie pisemne? Schemat Hornera? Ten ostatni jest najsprawniejszy.
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1565
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 243 razy

Podzielność wielomianu

Post autor: Gouranga »

schemat Hornera się kłania do dzielenia przez \(\displaystyle{ (x-r)}\)
a)
\(\displaystyle{ r = -2\\
\\
\begin{array}{c|c|c|c}
2 & 1 & -1 & 10\\
\hline
2 & 2\cdot r +1 = -3 & (-3) \cdot r -1 = 5 & 5 \cdot r + 10 = 0\end{array}\\
W(x) : P(x) = 2x^2 -3x + 5}\)


dodatkowo jak widać na końcu wyszło 0 i to tylko potwierdza, że \(\displaystyle{ W(-2) = 0}\)
drugi analogicznie spróbuj sam i daj do sprawdzenia
Awatar użytkownika
push
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 146
Rejestracja: 19 wrz 2013, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 8 razy

Podzielność wielomianu

Post autor: push »

\(\displaystyle{ r = -1\\
\\
\begin{array}{c|c|c|c}
1 & 3 & -4 & -5\\
\hline
1 & 2 & -6 & 1\end{array}\\
W(x) : P(x) = x^{3}+2 x^{2}-6x+1}\)


Zgadza się?
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1565
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 243 razy

Podzielność wielomianu

Post autor: Gouranga »

źle
skoro \(\displaystyle{ P(x) = x-1}\) to \(\displaystyle{ r=1}\) bo dwumian przez który dzielisz rozpatrujesz jako \(\displaystyle{ x-r}\)

natomiast samo rozwiązanie schematu Hornera zrobiłeś dobrze tylko zabrakło ostatniej kolumny i jakbyś zrobił z ostatnią kolumną na końcu wyszło by co innego niż 0 i to powinni ci dać do myślenia już-- 21 wrz 2013, o 14:13 --chociaż nie, w tym przypadku też wyszło by 0 co znaczy że zarówno 1 jak i -1 są miejscami zerowymi \(\displaystyle{ W(x)}\) w przykładzie b
Awatar użytkownika
push
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 146
Rejestracja: 19 wrz 2013, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 8 razy

Podzielność wielomianu

Post autor: push »

Zaraz poprawię przykład, bo pomyliłem się.

Powinno być tak:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +3 x^{3} -4 x^{2}-5x+1
P(x)=x+1}\)


Schemat Hornera:
\(\displaystyle{ r = -1\\ \\ \begin{array}{c|c|c|c} 1 & 3 & -4 & -5\\ \hline 1 & 2 & -6 & 1\end{array}\\ W(x) : P(x) = x^{3}+2 x^{2}-6x+1}\)

Z tym, że nie pisałem już jedynki w schemacie, gdyż ona i tak nic nie zmienia. Jest po prostu zerem.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Podzielność wielomianu

Post autor: bakala12 »

Podzieliłeś dobrze.
Z tym, że nie pisałem już jedynki w schemacie, gdyż ona i tak nic nie zmienia. Jest po prostu zerem.
\(\displaystyle{ 1 \neq 0}\) No chyba, że twierdzisz inaczej
ODPOWIEDZ