Podzielność wielomianu
- push
- Użytkownik
- Posty: 146
- Rejestracja: 19 wrz 2013, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 8 razy
Podzielność wielomianu
Wielomian \(\displaystyle{ W \left( x \right)}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ P \left( x \right)}\). Znajdź wynik dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W \left( x \right)}\) przez \(\displaystyle{ P \left( x \right)}\), jeśli
a) \(\displaystyle{ W \left( x \right) =2x ^{3}+ x^{2} -x+10}\)
\(\displaystyle{ P \left( x \right) = x+2}\)
b) \(\displaystyle{ W \left( x \right) = x^{4}+3 x^{3} -4 x^{2} -5x+1}\)
\(\displaystyle{ P \left( x \right) =x-1}\)
a) \(\displaystyle{ W \left( x \right) =2x ^{3}+ x^{2} -x+10}\)
\(\displaystyle{ P \left( x \right) = x+2}\)
b) \(\displaystyle{ W \left( x \right) = x^{4}+3 x^{3} -4 x^{2} -5x+1}\)
\(\displaystyle{ P \left( x \right) =x-1}\)
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2013, o 12:43 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Podzielność wielomianu
a) masz wielomian stopnia trzeciego podzielić przez wielomian stopnia pierwszego - a więc wiadomo że wynik takiego dzielenia będzie wielomianem stopnia drugiego jakieś \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) należy wyznaczyć. A z tego, że \(\displaystyle{ W(x):P(x)=ax^2+bx+c}\) wynika, że \(\displaystyle{ W(x)=P(x)\cdot\left( ax^2+bx+c\right)}\) zatem
\(\displaystyle{ 2x^3+x^2-x+10=\left( x+2\right)\cdot \left( ax^2+bx+c\right) \\ 2x^3+x^2-x+10=ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c \\ 2x^3+x^2-x+10=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c}\)
Porównujesz współczynniki przed \(\displaystyle{ x^3, x^2, x}\), wyrazy wolne po lewej i prawej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2=a \\ 1=b+2a \\ -1=c+2b \\ 10=2c \end{cases}}\)
wyliczasz z tego układu \(\displaystyle{ a,b,c}\)
b) tutaj wynikiem dzielenia będzie wielomian trzeciego stopnia, i analogicznie robisz jak a)
\(\displaystyle{ 2x^3+x^2-x+10=\left( x+2\right)\cdot \left( ax^2+bx+c\right) \\ 2x^3+x^2-x+10=ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c \\ 2x^3+x^2-x+10=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c}\)
Porównujesz współczynniki przed \(\displaystyle{ x^3, x^2, x}\), wyrazy wolne po lewej i prawej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2=a \\ 1=b+2a \\ -1=c+2b \\ 10=2c \end{cases}}\)
wyliczasz z tego układu \(\displaystyle{ a,b,c}\)
b) tutaj wynikiem dzielenia będzie wielomian trzeciego stopnia, i analogicznie robisz jak a)
-
- Użytkownik
- Posty: 1565
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 243 razy
Podzielność wielomianu
schemat Hornera się kłania do dzielenia przez \(\displaystyle{ (x-r)}\)
a)
\(\displaystyle{ r = -2\\
\\
\begin{array}{c|c|c|c}
2 & 1 & -1 & 10\\
\hline
2 & 2\cdot r +1 = -3 & (-3) \cdot r -1 = 5 & 5 \cdot r + 10 = 0\end{array}\\
W(x) : P(x) = 2x^2 -3x + 5}\)
dodatkowo jak widać na końcu wyszło 0 i to tylko potwierdza, że \(\displaystyle{ W(-2) = 0}\)
drugi analogicznie spróbuj sam i daj do sprawdzenia
a)
\(\displaystyle{ r = -2\\
\\
\begin{array}{c|c|c|c}
2 & 1 & -1 & 10\\
\hline
2 & 2\cdot r +1 = -3 & (-3) \cdot r -1 = 5 & 5 \cdot r + 10 = 0\end{array}\\
W(x) : P(x) = 2x^2 -3x + 5}\)
dodatkowo jak widać na końcu wyszło 0 i to tylko potwierdza, że \(\displaystyle{ W(-2) = 0}\)
drugi analogicznie spróbuj sam i daj do sprawdzenia
- push
- Użytkownik
- Posty: 146
- Rejestracja: 19 wrz 2013, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 8 razy
Podzielność wielomianu
\(\displaystyle{ r = -1\\
\\
\begin{array}{c|c|c|c}
1 & 3 & -4 & -5\\
\hline
1 & 2 & -6 & 1\end{array}\\
W(x) : P(x) = x^{3}+2 x^{2}-6x+1}\)
Zgadza się?
\\
\begin{array}{c|c|c|c}
1 & 3 & -4 & -5\\
\hline
1 & 2 & -6 & 1\end{array}\\
W(x) : P(x) = x^{3}+2 x^{2}-6x+1}\)
Zgadza się?
-
- Użytkownik
- Posty: 1565
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 243 razy
Podzielność wielomianu
źle
skoro \(\displaystyle{ P(x) = x-1}\) to \(\displaystyle{ r=1}\) bo dwumian przez który dzielisz rozpatrujesz jako \(\displaystyle{ x-r}\)
natomiast samo rozwiązanie schematu Hornera zrobiłeś dobrze tylko zabrakło ostatniej kolumny i jakbyś zrobił z ostatnią kolumną na końcu wyszło by co innego niż 0 i to powinni ci dać do myślenia już-- 21 wrz 2013, o 14:13 --chociaż nie, w tym przypadku też wyszło by 0 co znaczy że zarówno 1 jak i -1 są miejscami zerowymi \(\displaystyle{ W(x)}\) w przykładzie b
skoro \(\displaystyle{ P(x) = x-1}\) to \(\displaystyle{ r=1}\) bo dwumian przez który dzielisz rozpatrujesz jako \(\displaystyle{ x-r}\)
natomiast samo rozwiązanie schematu Hornera zrobiłeś dobrze tylko zabrakło ostatniej kolumny i jakbyś zrobił z ostatnią kolumną na końcu wyszło by co innego niż 0 i to powinni ci dać do myślenia już-- 21 wrz 2013, o 14:13 --chociaż nie, w tym przypadku też wyszło by 0 co znaczy że zarówno 1 jak i -1 są miejscami zerowymi \(\displaystyle{ W(x)}\) w przykładzie b
- push
- Użytkownik
- Posty: 146
- Rejestracja: 19 wrz 2013, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 8 razy
Podzielność wielomianu
Zaraz poprawię przykład, bo pomyliłem się.
Powinno być tak:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +3 x^{3} -4 x^{2}-5x+1
P(x)=x+1}\)
Schemat Hornera:
\(\displaystyle{ r = -1\\ \\ \begin{array}{c|c|c|c} 1 & 3 & -4 & -5\\ \hline 1 & 2 & -6 & 1\end{array}\\ W(x) : P(x) = x^{3}+2 x^{2}-6x+1}\)
Z tym, że nie pisałem już jedynki w schemacie, gdyż ona i tak nic nie zmienia. Jest po prostu zerem.
Powinno być tak:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +3 x^{3} -4 x^{2}-5x+1
P(x)=x+1}\)
Schemat Hornera:
\(\displaystyle{ r = -1\\ \\ \begin{array}{c|c|c|c} 1 & 3 & -4 & -5\\ \hline 1 & 2 & -6 & 1\end{array}\\ W(x) : P(x) = x^{3}+2 x^{2}-6x+1}\)
Z tym, że nie pisałem już jedynki w schemacie, gdyż ona i tak nic nie zmienia. Jest po prostu zerem.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Podzielność wielomianu
Podzieliłeś dobrze.
\(\displaystyle{ 1 \neq 0}\) No chyba, że twierdzisz inaczejZ tym, że nie pisałem już jedynki w schemacie, gdyż ona i tak nic nie zmienia. Jest po prostu zerem.