tylko wartości dodatnie, wykaż
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
tylko wartości dodatnie, wykaż
wykaż, że dla każdego\(\displaystyle{ x \in R}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{6}-x^{5}+x^{4}+x^{2}-x+1}\) przyjmuje tylko wartości dodatnie
nauczycielka wyjaśniła nam przed wyjściem z klasy że mamy z tego zrobić nierówność i tak rozwiązać.
znam 3 metody rozwiązywania nierówności : grupowania i wyciągania przed nawias, w przypadku nierówności dwukwadratowych to zmienna pomocnicza, no i jeszcze metoda opierająca się na twierdzeniu Bézouta.
próbowałam i w żaden sposób nie mogę tego doprowadzić do postaci iloczynowej
wskazówka z odp wygląda tak : \(\displaystyle{ \left( x^{3}-x\right)^{2}+\left( x^{2}-x+1\right)\left(x+1\right)^{2}}\)
nauczycielka wyjaśniła nam przed wyjściem z klasy że mamy z tego zrobić nierówność i tak rozwiązać.
znam 3 metody rozwiązywania nierówności : grupowania i wyciągania przed nawias, w przypadku nierówności dwukwadratowych to zmienna pomocnicza, no i jeszcze metoda opierająca się na twierdzeniu Bézouta.
próbowałam i w żaden sposób nie mogę tego doprowadzić do postaci iloczynowej
wskazówka z odp wygląda tak : \(\displaystyle{ \left( x^{3}-x\right)^{2}+\left( x^{2}-x+1\right)\left(x+1\right)^{2}}\)
- oldj
- Użytkownik
- Posty: 133
- Rejestracja: 5 wrz 2012, o 14:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 37 razy
tylko wartości dodatnie, wykaż
co do wskazówki - pierwszy składnik sumy jest zawsze nieujemny, drugi również (w mnożeniu pierwszy trójmian jest zawsze dodatni, drugi zawsze nieujemny), więc dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) wielomian ten jest nieujemny. A mieliśmy pokazać, że jest dodatni - sprawdźmy więc, czy może on się zerować ( a w zasadzie pokażmy, że nie może się zerować ; ) ). Jeśli zerowałby się, to zarówno pierwszy składnik sumy, jak i drugi musiałby być zerem. Sprawdź, czy to możliwe.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
tylko wartości dodatnie, wykaż
Proponuję chytrą sztuczkę. Pomnóż i podziel przez \(\displaystyle{ \left( x+1\right)}\). Dla \(\displaystyle{ x=-1}\) niestety trzeba sprawdzić ręcznie.
tylko wartości dodatnie, wykaż
Coś kombinujecie, Koledzy. Przecież mamy natychmiast \(\displaystyle{ (x^4+1)(x^2-x+1)}\) zgodnie z moją wskazówką. Czy to nie wystarczy?
tylko wartości dodatnie, wykaż
Ale wydało mi się to tak trywialne, że aż oczywiste, stąd mój post o kombinowaniu. A metoda do rozwiązania zadania jest dowolna, byle poprawna, i tu się z Tobą zgadzam
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
tylko wartości dodatnie, wykaż
Cutlass pisze:Grupowanie działa spróbuj pokombinować z tymi składnikami:
\(\displaystyle{ (x^{6}-x^{5})+(x^{2}-x) + (x^{4}+1)}\).
czy tak może być ?
\(\displaystyle{ x^{5}\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+x^{4}+1}\)
\(\displaystyle{ \left(x-1\right)\left(x^{5}+x+x^{4}+1\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(x-1\right)+x^{4}\left(x+1\right)+1\left(x+1\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(x^{4}+1\right)}\)
nie... bo pierwszy nawias zawsze może być zerem. nie mam tam potęg żadnych... jak więc to rozłożyć ?
Ostatnio zmieniony 18 wrz 2013, o 20:23 przez zelka28, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
tylko wartości dodatnie, wykaż
nie wiem jak mam wyłączyć z ostatniego nawiasu \(\displaystyle{ \left(x^{4}+1\right)}\)-- 18 wrz 2013, o 20:36 --
w jaki sposób to pogrupowałeś ?
szw1710 pisze:Coś kombinujecie, Koledzy. Przecież mamy natychmiast \(\displaystyle{ (x^4+1)(x^2-x+1)}\) zgodnie z moją wskazówką. Czy to nie wystarczy?
w jaki sposób to pogrupowałeś ?