tylko wartości dodatnie, wykaż

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
zelka28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: zelka28 »

wykaż, że dla każdego\(\displaystyle{ x \in R}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{6}-x^{5}+x^{4}+x^{2}-x+1}\) przyjmuje tylko wartości dodatnie

nauczycielka wyjaśniła nam przed wyjściem z klasy że mamy z tego zrobić nierówność i tak rozwiązać.
znam 3 metody rozwiązywania nierówności : grupowania i wyciągania przed nawias, w przypadku nierówności dwukwadratowych to zmienna pomocnicza, no i jeszcze metoda opierająca się na twierdzeniu Bézouta.

próbowałam i w żaden sposób nie mogę tego doprowadzić do postaci iloczynowej
wskazówka z odp wygląda tak : \(\displaystyle{ \left( x^{3}-x\right)^{2}+\left( x^{2}-x+1\right)\left(x+1\right)^{2}}\)
szw1710

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: szw1710 »

Rozłóż inaczej na czynniki: uwzględnij dwie grupy po trzy składniki.
Awatar użytkownika
oldj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 5 wrz 2012, o 14:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 37 razy

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: oldj »

co do wskazówki - pierwszy składnik sumy jest zawsze nieujemny, drugi również (w mnożeniu pierwszy trójmian jest zawsze dodatni, drugi zawsze nieujemny), więc dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) wielomian ten jest nieujemny. A mieliśmy pokazać, że jest dodatni - sprawdźmy więc, czy może on się zerować ( a w zasadzie pokażmy, że nie może się zerować ; ) ). Jeśli zerowałby się, to zarówno pierwszy składnik sumy, jak i drugi musiałby być zerem. Sprawdź, czy to możliwe.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: bakala12 »

Proponuję chytrą sztuczkę. Pomnóż i podziel przez \(\displaystyle{ \left( x+1\right)}\). Dla \(\displaystyle{ x=-1}\) niestety trzeba sprawdzić ręcznie.
Cutlass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 23 sie 2013, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 6 razy

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: Cutlass »

Grupowanie działa spróbuj pokombinować z tymi składnikami:
\(\displaystyle{ (x^{6}-x^{5})+(x^{2}-x) + (x^{4}+1)}\).
szw1710

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: szw1710 »

Coś kombinujecie, Koledzy. Przecież mamy natychmiast \(\displaystyle{ (x^4+1)(x^2-x+1)}\) zgodnie z moją wskazówką. Czy to nie wystarczy?
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: bakala12 »

szw1710, wystarczy, ale możliwych metod rozwiązania jest wiele. Jak widać każdy wpadł na co innego
szw1710

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: szw1710 »

Ale wydało mi się to tak trywialne, że aż oczywiste, stąd mój post o kombinowaniu. A metoda do rozwiązania zadania jest dowolna, byle poprawna, i tu się z Tobą zgadzam
zelka28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: zelka28 »

Cutlass pisze:Grupowanie działa spróbuj pokombinować z tymi składnikami:
\(\displaystyle{ (x^{6}-x^{5})+(x^{2}-x) + (x^{4}+1)}\).

czy tak może być ?
\(\displaystyle{ x^{5}\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+x^{4}+1}\)
\(\displaystyle{ \left(x-1\right)\left(x^{5}+x+x^{4}+1\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(x-1\right)+x^{4}\left(x+1\right)+1\left(x+1\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(x^{4}+1\right)}\)



nie... bo pierwszy nawias zawsze może być zerem. nie mam tam potęg żadnych... jak więc to rozłożyć ?
Ostatnio zmieniony 18 wrz 2013, o 20:23 przez zelka28, łącznie zmieniany 1 raz.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: bakala12 »

zelka28, to jest zupełnie źle, niestety
zelka28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: zelka28 »

nie wiem jak mam wyłączyć z ostatniego nawiasu \(\displaystyle{ \left(x^{4}+1\right)}\)-- 18 wrz 2013, o 20:36 --
szw1710 pisze:Coś kombinujecie, Koledzy. Przecież mamy natychmiast \(\displaystyle{ (x^4+1)(x^2-x+1)}\) zgodnie z moją wskazówką. Czy to nie wystarczy?

w jaki sposób to pogrupowałeś ?
szw1710

tylko wartości dodatnie, wykaż

Post autor: szw1710 »

Spokojnie przeczytaj moją poprzednią wskazówkę.
ODPOWIEDZ