Minimalizacja funkcji

[zad1]

Mam funkcję daną wzorem :
\(\displaystyle{ \blue minf(x_{1},x_{2})=0,5x_{1}^2-x_{1}x_{2}+x_{2}^2-6x_{1}+x_{2}}\)
oraz ograniczenia:
\(\displaystyle{ \red3x_{1}+2x_{2} \ge -2\\
4x_{1}+3x_{2} \le 1\\
x_{1} \ge -2\\
x_{2} \ge -1}\)

Zadanie bazuje na warunkach K-K-T, więc konstruuję funkcję Lagrange`a:
\(\displaystyle{ L( \vec{x}, \vec{ \alpha })={\blue0,5x_{1}^2-x_{1}x_{2}+x_{2}^2-6x_{1}+x_{2}}+ \alpha _{1}{\red(3x_{1}+2x_{2}+2)}+\alpha _{2}{\red(4x_{1}+3x_{2}-1)}}\)

Czy to rozwiązanie jest poprawne? Wydaje mi się, że nie, bo w kolejnych krokach otrzymuje złe wyniki.
Warunki:
\(\displaystyle{ (1) x_{1}-x_{2}-6+3 \alpha _{1}+4 \alpha _{2}=0\\
(2)-x{1}+2x{2}+1+2 \alpha _{1}+3 \alpha {2}=0\\
(3)\alpha _{1}(3x_{1}+2x_{2}+2)=0\\
(4)\alpha _{2}(4x_{1}+3x_{2}-1)=0\\
(5)3x_{1}+2x_{2}+2=0\\
(6)4x_{1}+3x_{2}-1=0}\)
co w efekcie daje:
\(\displaystyle{ x_{1}=-8\\x_{2}=11}\)
Z góry dziękuję za wszelkie wskazówki

[Kartezjusz]

Masz cztery zmienne i sześć równań. Coś nie gra. Może (3) i (4) pozbyć się?

[zad1]

Faktycznie są one zbędne, ale ich pozbycie się nie zmienia rozwiązania, jeśli chodzi o x1 oraz x2.

[Kartezjusz]

A co powinno wyjść?

[zad1]

x1=-8 nie spełnia warunku początkowego:
\(\displaystyle{ {\red x_{1} \ge -2}}\)

Gdy zaś na początku poszukuje ekstremum bezwarunkowego przyrównując pierwsze pochodne do zera otrzymuje x1=11 oraz x2=5 co z kolei nie spełnia warunku:
\(\displaystyle{ {\red 4x_{1}+3x_{2} \le 1}}\)

[Barbara777]

Przykro mi, ale to jest w ogole do kitu. Przestudiuj sobie, kiedy konstruuje sie funkcje Lagrange z dwoma warunkam (kazdy warunek opisuje powierzchnie, a oba razem - krzywa. Szuka sie ekstremum funkcji trzech zmiennych).
Tu poszukaj zwyklych punktow krytycznych i odrzuc te, ktore leza poza danym obszarem. Potem znajdz punkty ekstremalne na brzegu (nie zapomnij o "rogach") i wybierz wartosc najmniejsza.
(Punkty ekstremalne na brzegu znajdujesz badajac funkcje jednej zmiennej, ktore otrzymujesz wyznaczajac jedna ze zmiennych z warunku i wstawiajac do wzoru funkcji \(\displaystyle{ f}\). Tu brzeg sklada sie z czterech "kawalkow", wiec masz cztery funkcje do zbadania.)

[zad1]

Pierwsze co przyszło mi do głowy to przyrównać w układzie równań pierwsze pochodne do zera i sprawdzić hesjan. Wyniki:
\(\displaystyle{ H=1}\) czyli ok,
\(\displaystyle{ x_{1}=11}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=5}\) co niestety nie spełnia wszystkich warunków (\(\displaystyle{ 4x_{1}+3x_{2} \le 1}\))

Biorę więc z pierwszego ograniczenia początkowego: \(\displaystyle{ x_{2}=-1,5x_{1}-1}\)
Otrzymując następującą postać funkcji głównej:
\(\displaystyle{ \frac{17}{4}x_{1}^2- \frac{31}{2}x_{1}+2}\)
Teraz łatwo można policzyć min, ale czym jest ta wartość dla początkowego przykładu i jak się do niej odnieść?