Rozłóż wielomian na czynniki

[Mentofobis]

Proszę o pomoc w rozkładzie wielomianów:

a) \(\displaystyle{ w(x)=x^{6}+1}\)
b) \(\displaystyle{ w(x)=x^{4}-3x^{2}+9}\)

w a) dochodzę do rozkładu na:
\(\displaystyle{ (x^{2}+1)(x^{2}-1-x^{2})(x^{2}-1+x^{2})}\)a tu przecież w drugim nawiasie się iksy redukują i nijak nie wyjdzie w wyniku dobrze, bo po przemnożeniu już nie wyjdzie wielomian stopnia 6

[mmoonniiaa]

A skąd wziąłeś drugi i trzeci nawias? Powinieneś zastosować wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów.

[yorgin]

\(\displaystyle{ x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)}\)

\(\displaystyle{ x^4-x^2+1=x^4+2x^2+1-3x^2=(x^2+1)^2-3x^2=(x^2+1-x\sqrt{3})(x^2+1+x\sqrt{3})}\)

itd.

[Mentofobis]

hmm.. a ja to chciałem tak zrobić:
\(\displaystyle{ (x^{2})^{3} +1^{3}=(x^{2}+1)(x^{4}-x^{2}+1)=(x^{2}+1)(x^{4}-x^{2}+1)-x^{2}=(x^{2}+1)(2x^{2}-1)^{2}-x^{2}=(x^{2}+1)(x^{2}-1-x^{2})(x^{2}-1+x^{2})}\)

czyli zrobilem źle, bo ułożyłem sobie zły wzór skróconego mnożenia?

[mmoonniiaa]

Błąd popełniasz już w tym momencie:
\(\displaystyle{ (x^{2}+1)(x^{4}-x^{2}+1) \neq (x^{2}+1)(x^{4}-2x^{2}+1)-x^{2}}\)

[Mentofobis]

Boże... czyżby \(\displaystyle{ +x^{2}}\) ?

@edit
kurczę, wtedy nie wyjdzie różnica kwadratów..

[mmoonniiaa]

Też nie.
\(\displaystyle{ P=(x^{2}+1)(x^{4}-2x^{2}+1)-x^{2}=x^{6}-2x^{4}+x^2+x^{4}-2x^{2}+1-x^{2}=x^{6}-x^{4}-2x^{2}+1 \color{red} \neq \color{black} x^6+1=(x^{2}+1)(x^{4}-x^{2}+1)=L}\)

\(\displaystyle{ P=(x^{2}+1)(x^{4}-2x^{2}+1)+x^{2}=x^{6}-2x^{4}+x^2+x^{4}-2x^{2}+1+x^{2}=x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 \color{red} \neq \color{black} x^6+1=(x^{2}+1)(x^{4}-x^{2}+1)=L}\)-- 12 września 2013, 17:17 --Mentofobis, spójrz na rozwiązanie yorgina.

[Mentofobis]

rozumiem, tzn widzę, że jest poprawnie ale skąd w tym przykładzie mam wiedzieć, że wyrażenie \(\displaystyle{ (x^4-x^2+1)}\) aby wyszło poprawnie musi być przekształcone akurat w taki sposób: \(\displaystyle{ x^4+2x^2+1-3x^2}\) ??

[mmoonniiaa]

rozumiem, tzn widzę, że jest poprawnie ale skąd w tym przykładzie mam wiedzieć, że wyrażenie \(\displaystyle{ (x^4-x^2+1)}\) aby wyszło poprawnie musi być przekształcone akurat w taki sposób: \(\displaystyle{ x^4+2x^2+1-3x^2}\) ??

Ciężko mi powiedzieć, skąd masz wiedzieć. To chyba kwestia wprawy, żeby "widzieć" wzory skróconego mnożenia.

Ale sądząc po Twojej wiadomości:

\(\displaystyle{ w(x)=x^{4}-3x^{2}+9}\)

Czy mógłbym prosić o pomoc w rozłożeniu tego wielomianu?
Czy zaczynając od tego wyjdzie mi dobrze?:

\(\displaystyle{ w(x)=x^{4}-3x^{2}+9=(x^{4}+6x^{2}+9)-9x^{2}}\)

Jeśli nie to dlaczego?

stwierdzam, że załapałeś, o co chodzi. Dobry pomysł na rozwiązanie tego przykładu.