Dyskusja nad ilością rozwiązań równania dwukwadratoweg

Waski · Post autor: **Waski** » 12 sty 2005, o 21:27

Jest wielomian :

ax^4 + bx^2 +c=0

i jest pytanie :

Ile rozwiazan ma takie rownanie i nam nasza nauczycielka podała przykład np:

(m+1)x^4 -2(m-3)x^2 +4 =0 i powiedziała nam że z tego wychodzi brak rozwiazan

I teraz ja mam pytanie jak to obliczyc? a potem jak narysowac (jesli sie oczywiscie da) tego wykres.

Z gory dziekuje

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 12 sty 2005, o 22:04

Pisz regulaminowe tematy... Ten poprawiłem...

Odnośnie zadania: Wprowadź zmienną pomocniczą, np. t=x2 i się zastanów co dalej

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

waski · Post autor: **waski** » 12 sty 2005, o 22:12

Wiesz nie jestem taki głupi:) na takie cos to wpadlem tylko co dalej...

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 12 sty 2005, o 22:20

Równanie dwukwadratowe w ogólnej postaci, którą przytoczyłeś nie ma rozwiązań (wyróżnik równania otrzymanego po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej jest mniejszy od zera) lub (gdy oba jego pierwiastki są ujemne i wyróżnik jest większy, bądź równy zero)

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

waski · Post autor: **waski** » 12 sty 2005, o 22:26

hmm to są podstawowe założenia a to chyba nie starczy na zadaniu zeby bylo zaliczone.... nie napisze jej chyba(po obliczeniach) ze Delta

olazola · Post autor: **olazola** » 12 sty 2005, o 22:46

Jaki chcesz konkretny dowod jak masz nie konkretny przkład
Jeśli mamy r-nie dwukwadratowe to stosujemy podstawienie x^2=t
R-nie ma 4 rozwiazania gdzy delta jest wieksza od zera i t1,t2>0
R-nie ma 3 rozwiazania gdy delta>0 t1>0 i t2=0
R-nie ma 2 rozwazanie gdy delta>0 t1>0 i t20
R-nie ma 1 rozwazanie gdy delta =0 i t=0 lub delta>0 t1=0 t20 t1,t2

waski · Post autor: **waski** » 12 sty 2005, o 22:56

Dziękuje ale jeśli mógłbyś mądry kolego uwieńczyć swą pracę rozwiazaniem przykładu który podałem to byłoby dopiero coś:) z założeniami z góóóóry dziękuje i czekam;)

olazola · Post autor: **olazola** » 12 sty 2005, o 23:09

Nie jestem Twoim kolegą, koleżanko!
Myślalam, że wyrazilam sie jasno w tej dyskusji nad iloscia rozwiazan!
Zadanie jest potwornie długie z racji rozpatrywanych warunków.
1) należ policzyć delte
2) umiejętnie stosować wzory Viete'a.
POWODZENIA

waski · Post autor: **waski** » 12 sty 2005, o 23:14

Więc czy znajdzie się taka osoba która mi to rozwiąże i poświęci w myśl ideii matematycznej trochę czasu??? PROŚBA!

Rogal · Post autor: **Rogal** » 13 sty 2005, o 10:01

Jeżeli będziesz na tyle cierpliwy i poczekasz do wieczora... Postaram się rozwiązać to dzisiaj w szkole. Jest religia i inne wielce zajmujące przedmioty, więc czekaj cierpliwie.

waski · Post autor: **waski** » 13 sty 2005, o 14:12

no takich ludzi to ja rozumiem wiec czekam:D

bisz · Post autor: **bisz** » 13 sty 2005, o 19:44

to jest raczej dobrze =]x =

[ 1/(m+1)*((m+1)*(m-3+(m^2-6*m+9-m*c-c)^(1/2)))^(1/2)]
[ -1/(m+1)*((m+1)*(m-3+(m^2-6*m+9-m*c-c)^(1/2)))^(1/2)]
[ 1/(m+1)*((m+1)*(m-3-(m^2-6*m+9-m*c-c)^(1/2)))^(1/2)]
[ -1/(m+1)*((m+1)*(m-3-(m^2-6*m+9-m*c-c)^(1/2)))^(1/2)]

Rogal · Post autor: **Rogal** » 13 sty 2005, o 20:51

Ojojoj! (ulubiony hasełko mojej profesorki-matematyczki ) Cóż to za brzydkie wzory? A wiem. W liczbach zespolonych. Niestety, w tym przypadku hołduje się tylko rzeczywistym, więc trzeba rozpatrzyć parę przypadków, ale do rzeczy.

(m+1)x^4 - 2(m-3)x^2 + 4 = 0; t=x^2
(m+1)t^2 - 2(m-3)t + 4 = 0
Obliczamy wyróżnik, który jest równy: 4(m^2-10m+5) i musimy się zastanowić dla jakich wartości m będzie to liczba nieujemna. Szukamy więc wyróżnika tego drugiego równania kwadratowego, a następnie pierwiastki: m1 = 5 - 2sqrt(5) i m2 = 5 + 2sqrt(5). Wartości ujemne otrzymujemy dla przedziału: m należy do (5 - 2sqrt(5); 5 + 2sqrt(5)) i możemy je od razu wyrzucić z naszych dalszych rozważań. Zastonowimy się teraz nad pierwiastkami, gdy pierwsza delta będzie równa 0, czyli m = 5 - 2sqrt(5) lub m = 5 + 2sqrt(5), wtedy też t0 = [2(m-3)/2(m+1)] = (m-3)/(m+1). Ponieważ mamy tylko dwie wartości m, to wstawimy je sobie do tego wzoru na t0 i otrzymujemy t0 = -[(1+sqrt(5))/2] lub
t0 = (sqrt(5) - 1)/2. Z tego zaś podstawiamy do wzoru na x i otrzymujemy
x = sqrt{-[(1+sqrt(5))/2]}, co nie należy do rzeczywistych, ale także
x = sqrt[(sqrt(5) - 1)/2], co nam jak najbardziej odpowiada, a więc gdy wyróżnik równania jest równy 0, dla m = 5 + 2sqrt(5), to równanie owe bikwadratowe ma jedno rozwiązanie.
Teraz część najbardziej żmudna, czyli gdy delta jest dodatnia. Zachodzi to dla
mm2. Otrzymujemy następujące wzory na t: t1 = [m - 3 - sqrt(delta)]/(m+1)
i t2 = [m - 3 + sqrt(delta)]/(m+1), gdzie delta jest wyliczona u góry. Należy więc oba t spierwiastkować i otrzymuje się w ten sposób cztery pierwiastki x1 = -sqrt(t1),
x2 = sqrt(t1), x3 = -sqrt(t2) i x4 = sqrt(t2). Ponieważ interesują nas liczby rzeczywiste, więc pozostawiam Ci do sprawdzenia, dla jakich m, takie pierwiastki są, gdyż niestety brakło mi w-fu i chęci, by to skończyć. W końcu ty też coś musisz zrobić .