Czy ktoś z piszących tu jest w stanie rozwiązać takie oto równanie: 4x^3 - 3x + 0,5 = 0 i podać wynik koniecznie dokładny?
Ja mogę podpowiedzieć tyle, że wszystkie pierwiastki są rzeczywiste, dwa są dodatnie a najbardziej interesuje mnie ten, który w przybliżeniu wynosi 0,17.
Pewne równanie sześcienne
-
W_Zygmunt
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 53 razy
Pewne równanie sześcienne
"Zleciłem" rozwiązanie Derive, oto wynik:
4*x^3-3*x+0.5=0
x1=SIN(pi/18)
x2=-COS(pi/9)
x3=COS(2*pi/9)
w przybliżeniu
x1=2309/13297
x2=-44143/46976
x3=35988/46979
4*x^3-3*x+0.5=0
x1=SIN(pi/18)
x2=-COS(pi/9)
x3=COS(2*pi/9)
w przybliżeniu
x1=2309/13297
x2=-44143/46976
x3=35988/46979
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Pewne równanie sześcienne
Cóż, korzystając ze wzorów Cardana, nie potrafię pozbyć się pierwiastków zespolonych. A co do drugiego posta, to ja wiem, że rozwiązaniem jest sin10, sin40 i -sin70, tylko co z tego, skoro nie wiem ile to dokładnie jest? Gdyby ktoś potrafił podać nurtującą mnie odpowiedź ze wzorów Cardana, to byłbym bardzo wdzięczny.
-
W_Zygmunt
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 53 razy
Pewne równanie sześcienne
I wydaje mi się, że nigdy nie będziesz wiedział, bo to są liczby niewymierne.
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Pewne równanie sześcienne
To, że są to liczby niewymierne, to nic, bo znamy przecież nieskończenie wiele liczb niewymiernych, zapisanych w dokładnej postaci. To mnie nie przeraża. Jak pisałem nie potrafię się pozbyć pierwiastków z liczb ujemnych, czyli nierzeczywistych liczb. No, nie powiecie chyba, że sinus jakiegoś kąta może wyrażać się przez liczbę zespoloną?
-
bisz
- Użytkownik
- Posty: 572
- Rejestracja: 13 paź 2004, o 18:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 27 razy
Pewne równanie sześcienne
>> x=solve(4.*x.^3 - 3.*x+0.5)
x =
[ 1/4*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)+1/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)]
[ -1/8*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)-1/2/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*(1/2*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)-2/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3))]
[ -1/8*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)-1/2/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*(1/2*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)-2/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3))]
x =
[ 1/4*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)+1/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)]
[ -1/8*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)-1/2/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*(1/2*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)-2/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3))]
[ -1/8*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)-1/2/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*(1/2*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)-2/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3))]
-
W_Zygmunt
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 53 razy
Pewne równanie sześcienne
Jak się okazuje, jestem "ślepy" (oszczędzajcie oczy !!!). Muszę się zrehabilitować.
Spróbuję przedstawić wyrażenie
[ 1/4*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)+1/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)]
w "zjadliwej" pstaci. (Specjalnie piszę wyrażnie nie liczbę.)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\sqrt[3]{-4+4\cdot \sqrt{3}\cdot i} + \frac{1}{\sqrt[3]{-4+4\cdot \sqrt{3}\cdot i}}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}\sqrt[3]{-4+4\cdot \sqrt{3}\cdot i} +\frac{1\cdot \sqrt[3]{-4-4\cdot \sqrt{3}\cdot i}}{\sqrt[3]{-4+4\cdot \sqrt{3}\cdot i}\cdot \sqrt[3]{-4-4\cdot \sqrt{3}\cdot i}} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}(\sqrt[3]{-4+4\cdot \sqrt{3}\cdot i}+\sqrt[3]{-4-4\cdot \sqrt{3}\cdot i})}\)
Mamy tu sumę dwóch pierwiastków stopia 3 z liczb zespolonych.
Jak wiadomo (np tu: ... zespolone/)
każda z tych liczb zespolonych, ma trzy różne pierwiastki. Graficznie przedstawione to jest na poniższym rysunku:
Moduły liczb są równe 8, a \(\displaystyle{ arg(z1) = 120^o ,\, arg(z2)=240^o}\)
\(\displaystyle{ \frac{240^o}{3} = 80^o}\)
Moduł wszystkich pierwiastków = 2.
Trzeci z pierwiastków z1 i pierwzy z2 są liczbami sprzężonymi, zatem ich suma (zaznaczona kolorem żółtym) jest rzeczywista. Z prostych zależnośći trygonometrycznych, można wyliczyć wartość, ( jak i pozostałych rozwiązań równania).
Spróbuję przedstawić wyrażenie
[ 1/4*(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)+1/(-4+4*i*3^(1/2))^(1/3)]
w "zjadliwej" pstaci. (Specjalnie piszę wyrażnie nie liczbę.)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\sqrt[3]{-4+4\cdot \sqrt{3}\cdot i} + \frac{1}{\sqrt[3]{-4+4\cdot \sqrt{3}\cdot i}}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}\sqrt[3]{-4+4\cdot \sqrt{3}\cdot i} +\frac{1\cdot \sqrt[3]{-4-4\cdot \sqrt{3}\cdot i}}{\sqrt[3]{-4+4\cdot \sqrt{3}\cdot i}\cdot \sqrt[3]{-4-4\cdot \sqrt{3}\cdot i}} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}(\sqrt[3]{-4+4\cdot \sqrt{3}\cdot i}+\sqrt[3]{-4-4\cdot \sqrt{3}\cdot i})}\)
Mamy tu sumę dwóch pierwiastków stopia 3 z liczb zespolonych.
Jak wiadomo (np tu: ... zespolone/)
każda z tych liczb zespolonych, ma trzy różne pierwiastki. Graficznie przedstawione to jest na poniższym rysunku:
Moduły liczb są równe 8, a \(\displaystyle{ arg(z1) = 120^o ,\, arg(z2)=240^o}\)
\(\displaystyle{ \frac{240^o}{3} = 80^o}\)
Moduł wszystkich pierwiastków = 2.
Trzeci z pierwiastków z1 i pierwzy z2 są liczbami sprzężonymi, zatem ich suma (zaznaczona kolorem żółtym) jest rzeczywista. Z prostych zależnośći trygonometrycznych, można wyliczyć wartość, ( jak i pozostałych rozwiązań równania).
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Pewne równanie sześcienne
Bardzo pięknie to rozrysowane, muszę przyznać i chylę czoła. Mam jednak pewne wątpliwości nie do samego rozumowania W ZYGMUNCIE, a co do samych wyników podanych przez usera bisza. Chodzi o to, iż mi faktycznie moduł wyszedł 2, ale argument inny... Muszę sprawę przemyśleć i chyba użyję po raz pierwszy TeXa.
Przytoczę tutaj całe obliczenia. Znalazłem wzory Cardano i będę tu na oczach wszystkich wstawiał i przeliczał, by w razie błędów, łatwo je było wyłapać.
Mamy równanie: \(\displaystyle{ x^{3} + px + q = 0}\)
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}} - \frac{p}{3*\sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}}}\)
\(\displaystyle{ \large x_{2} = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}*\sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}} + \frac{1+\sqrt{-3}}{2}*\frac{p}{3*\sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}}}\)
\(\displaystyle{ \large x_{3} = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}*\sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}} + \frac{1-\sqrt{-3}}{2}*\frac{p}{3*\sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \Delta = -4p^{3}-27q^{2}}\)
To są te słynne wzory.
Przechodzimy teraz do naszego równania właściwego:
\(\displaystyle{ x^{3}-\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=0}\)
Czyli u nas \(\displaystyle{ p = -\frac{3}{4}, q = \frac{1}{8}}\)
A z tego \(\displaystyle{ \Delta = -4*(-\frac{3}{4})^{3}-27*(\frac{1}{8})^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta = -4*(-\frac{27}{64})-27*\frac{1}{64}}\)
\(\displaystyle{ \Delta = \frac{108}{64} - \frac{27}{64}}\)
\(\displaystyle{ \Delta = \frac{81}{64}}\)
Mając już deltę, możemy wstawiać wartości do wzorów na pierwiastki.
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \sqrt[3]{\frac{-9*\frac{1}{8}+\sqrt{-3*\frac{81}{64}}}{18}} - \frac{-\frac{3}{4}}{3*\sqrt[3]{\frac{-9*\frac{1}{8}+\sqrt{-3*\frac{81}{64}}}{18}}}\)
Wyciągamy sobie przed znak pierwiastka w obu wyrazach tej sumy, a także skracamy licznik z mianownikiem w przypadku drugiego wyrazu:
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \sqrt[3]{\frac{-\frac{9}{8}+\frac{9}{8}*\sqrt{-3}}{18}} - \frac{-\frac{1}{4}}{1*\sqrt[3]{\frac{-\frac{9}{8}+\frac{9}{8}*\sqrt{-3}}{18}}}\)
Teraz pod oboma pierwiastkami wyciągamy wspólny czynnik przed nawias i coś tam jeszcze zrobimy ...
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \sqrt[3]{\frac{\frac{9}{8}*(-1+\sqrt{-3})}{18}} + \frac{1}{4*\sqrt[3]{\frac{\frac{9}{8}*(-1+\sqrt{-3})}{18}}}\)
Teraz skrócimy co nieco i wyciągniemy przed znak pierwiastka...
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2} + \frac{1}{\frac{4*\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2}}\)
I skracamy już po raz ostatni...
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2} + \frac{1}{2*\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}\)
Wzory na pozostałe pierwiastki są bardzo podobne, gdyż różnią się tylko tym stałym wyrażeniem.
\(\displaystyle{ \large x_{2} = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}*\frac{\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2} + \frac{1+\sqrt{-3}}{2}*\frac{1}{2*\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \large x_{3} = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}*\frac{\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2} + \frac{1-\sqrt{-3}}{2}*\frac{1}{2*\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}\)
Zajmijmy się teraz tylko pierwszym pierwiastkiem. Jak dojdziemy z nim ładu i składu, to już z pozostałymi dwoma powinienem dać radę. Musimy wyciągnąć pierwiastek sześcienny z liczby zespolonej, a więc musimy zapisać ją w postaci trygonometrycznej.
\(\displaystyle{ \large z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\) - oto nasza liczba, z której musimy wyciągnąć pierwiastek sześcienny.
Zapisujemy ją w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{1} = 1}\)
Mamy moduł, więc teraz sinusy i cosinusy.
\(\displaystyle{ cos\phi = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\phi = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Szukamy teraz takiego kąta, by spełniał nam oba te związki.
Idealnie spełnia nam takie związki kąt 120, czyli \(\displaystyle{ \phi = 120 = \frac{2\pi}{3}}\)
Czyli nasza liczba z ma postać:
\(\displaystyle{ z= \cos\frac{2\pi}{3} + isin\frac{2\pi}{3}}\)
Wzór na pierwiastki:
\(\displaystyle{ w_{k} = \sqrt[n]{|z|}*(\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+isin\frac{\phi+2k\pi}{n}); k = 0,1,...,n-1}\)
U nas n = 3 (bo pierwiastek sześcienny) i jedziemy:
\(\displaystyle{ w_{0} = \sqrt[3]{1}*(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}}{3}+isin\frac{\frac{2\pi}{3}}{3})}\)
\(\displaystyle{ w_{0} = \cos\frac{2\pi}{9}+isin\frac{2\pi}{9}}\)
Następne pierwiastki będą o większe od poprzedniego o \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ w_{1} = \cos\frac{8\pi}{9}+isin\frac{8\pi}{9}}\)
\(\displaystyle{ w_{2} = \cos\frac{14\pi}{9}+isin\frac{14\pi}{9}}\)
Wszystko pięknie, tylko niech mi ktoś powie, ile to jest sinus bądź cosinus kąta \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{9}}\), czyli swojsko mówiąc 40 stopni?
W tym tkwi problem. Jeżeli ktoś zna odpowiedź niech za mną podzieli, jeżeli znajdzie błąd w rozumowaniu wyżej, to niech się tym bardziej zgłosi.
Poza tematem mówiąc, ten TeX to genialna sprawa, a taki prosty w obsłudze. Mam nadzieję, że admini nie spalą mnie na stosie albo coś, po takim gigantycznym poście .
Przytoczę tutaj całe obliczenia. Znalazłem wzory Cardano i będę tu na oczach wszystkich wstawiał i przeliczał, by w razie błędów, łatwo je było wyłapać.
Mamy równanie: \(\displaystyle{ x^{3} + px + q = 0}\)
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}} - \frac{p}{3*\sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}}}\)
\(\displaystyle{ \large x_{2} = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}*\sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}} + \frac{1+\sqrt{-3}}{2}*\frac{p}{3*\sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}}}\)
\(\displaystyle{ \large x_{3} = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}*\sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}} + \frac{1-\sqrt{-3}}{2}*\frac{p}{3*\sqrt[3]{\frac{-9q+\sqrt{-3*\Delta}}{18}}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \Delta = -4p^{3}-27q^{2}}\)
To są te słynne wzory.
Przechodzimy teraz do naszego równania właściwego:
\(\displaystyle{ x^{3}-\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=0}\)
Czyli u nas \(\displaystyle{ p = -\frac{3}{4}, q = \frac{1}{8}}\)
A z tego \(\displaystyle{ \Delta = -4*(-\frac{3}{4})^{3}-27*(\frac{1}{8})^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta = -4*(-\frac{27}{64})-27*\frac{1}{64}}\)
\(\displaystyle{ \Delta = \frac{108}{64} - \frac{27}{64}}\)
\(\displaystyle{ \Delta = \frac{81}{64}}\)
Mając już deltę, możemy wstawiać wartości do wzorów na pierwiastki.
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \sqrt[3]{\frac{-9*\frac{1}{8}+\sqrt{-3*\frac{81}{64}}}{18}} - \frac{-\frac{3}{4}}{3*\sqrt[3]{\frac{-9*\frac{1}{8}+\sqrt{-3*\frac{81}{64}}}{18}}}\)
Wyciągamy sobie przed znak pierwiastka w obu wyrazach tej sumy, a także skracamy licznik z mianownikiem w przypadku drugiego wyrazu:
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \sqrt[3]{\frac{-\frac{9}{8}+\frac{9}{8}*\sqrt{-3}}{18}} - \frac{-\frac{1}{4}}{1*\sqrt[3]{\frac{-\frac{9}{8}+\frac{9}{8}*\sqrt{-3}}{18}}}\)
Teraz pod oboma pierwiastkami wyciągamy wspólny czynnik przed nawias i coś tam jeszcze zrobimy ...
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \sqrt[3]{\frac{\frac{9}{8}*(-1+\sqrt{-3})}{18}} + \frac{1}{4*\sqrt[3]{\frac{\frac{9}{8}*(-1+\sqrt{-3})}{18}}}\)
Teraz skrócimy co nieco i wyciągniemy przed znak pierwiastka...
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2} + \frac{1}{\frac{4*\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2}}\)
I skracamy już po raz ostatni...
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2} + \frac{1}{2*\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}\)
Wzory na pozostałe pierwiastki są bardzo podobne, gdyż różnią się tylko tym stałym wyrażeniem.
\(\displaystyle{ \large x_{2} = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}*\frac{\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2} + \frac{1+\sqrt{-3}}{2}*\frac{1}{2*\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \large x_{3} = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}*\frac{\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2} + \frac{1-\sqrt{-3}}{2}*\frac{1}{2*\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}\)
Zajmijmy się teraz tylko pierwszym pierwiastkiem. Jak dojdziemy z nim ładu i składu, to już z pozostałymi dwoma powinienem dać radę. Musimy wyciągnąć pierwiastek sześcienny z liczby zespolonej, a więc musimy zapisać ją w postaci trygonometrycznej.
\(\displaystyle{ \large z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\) - oto nasza liczba, z której musimy wyciągnąć pierwiastek sześcienny.
Zapisujemy ją w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{1} = 1}\)
Mamy moduł, więc teraz sinusy i cosinusy.
\(\displaystyle{ cos\phi = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\phi = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Szukamy teraz takiego kąta, by spełniał nam oba te związki.
Idealnie spełnia nam takie związki kąt 120, czyli \(\displaystyle{ \phi = 120 = \frac{2\pi}{3}}\)
Czyli nasza liczba z ma postać:
\(\displaystyle{ z= \cos\frac{2\pi}{3} + isin\frac{2\pi}{3}}\)
Wzór na pierwiastki:
\(\displaystyle{ w_{k} = \sqrt[n]{|z|}*(\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+isin\frac{\phi+2k\pi}{n}); k = 0,1,...,n-1}\)
U nas n = 3 (bo pierwiastek sześcienny) i jedziemy:
\(\displaystyle{ w_{0} = \sqrt[3]{1}*(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}}{3}+isin\frac{\frac{2\pi}{3}}{3})}\)
\(\displaystyle{ w_{0} = \cos\frac{2\pi}{9}+isin\frac{2\pi}{9}}\)
Następne pierwiastki będą o większe od poprzedniego o \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ w_{1} = \cos\frac{8\pi}{9}+isin\frac{8\pi}{9}}\)
\(\displaystyle{ w_{2} = \cos\frac{14\pi}{9}+isin\frac{14\pi}{9}}\)
Wszystko pięknie, tylko niech mi ktoś powie, ile to jest sinus bądź cosinus kąta \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{9}}\), czyli swojsko mówiąc 40 stopni?
W tym tkwi problem. Jeżeli ktoś zna odpowiedź niech za mną podzieli, jeżeli znajdzie błąd w rozumowaniu wyżej, to niech się tym bardziej zgłosi.
Poza tematem mówiąc, ten TeX to genialna sprawa, a taki prosty w obsłudze. Mam nadzieję, że admini nie spalą mnie na stosie albo coś, po takim gigantycznym poście .
-
W_Zygmunt
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 53 razy
Pewne równanie sześcienne
Najkócej mówiąc, bład polega na tym, że w zbiorze liczb zespolonych pierwiastek z liczby jest wielokrotny.
\(\displaystyle{ \sqrt{-3}\, =\, i*\sqrt{3}\, lub\, \sqrt{-3}\, =\, -i*\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{-3}\, =\, i*\sqrt{3}\, lub\, \sqrt{-3}\, =\, -i*\sqrt{3}}\)
-
W_Zygmunt
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 53 razy
Pewne równanie sześcienne
Myślałem, że rysunek wyjaśni.
Weźmy zatem
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2} + \frac{1}{2*\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{1}{2}*({{\sqrt[3]{\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}} + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}})}\)
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{1}{2}*({{\sqrt[3]{\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}}))}\)
Oznaczmy
\(\displaystyle{ \large z_1 ={\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \large z_2 ={\frac{1}{\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)
Liczby \(\displaystyle{ z_1 i z_2}\) mają moduły równe 1, więc ich pierwiastki też mają moduł równy 1.
\(\displaystyle{ arg(z_1)=\frac{2\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ arg(z_2) = 0-\frac{2\pi}{3}}\) (bo przy dzieleniu arguenty się odejmuje)
\(\displaystyle{ arg(z_2) = 2\pi-\frac{2\pi}{3}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{1}{2}*{(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})}\)
Z \(\displaystyle{ z_1}\) mamy trzy pierwiastki (oznaczmy je \(\displaystyle{ p_1, p_2, p_3}\)) i z liczby \(\displaystyle{ z_2}\) mamy trzy pierwiastki \(\displaystyle{ (t_1, t_2, t_3)}\).
W ten sposób możemy zestawić 9 różnych rozwiązań.
Ale bierzemy tylko te, które są liczbami sprzężonymi.
(Przejdę na stopnie bo łatwiej zapisać.)
\(\displaystyle{ arg(z_1)=120^o}\)
\(\displaystyle{ arg(p_1)=40^o}\)
\(\displaystyle{ arg(p_2)=40^o+120^o = 160^o}\)
\(\displaystyle{ arg(p_3)=40^o+240^o = 280^o=280^o-360^o=-80^o}\)
\(\displaystyle{ arg(z_2)=240^o}\)
\(\displaystyle{ arg(t_1)=80^o}\)
\(\displaystyle{ arg(t_2)=80^o+120^o =200^o=200^o-360^o=-160^o}\)
\(\displaystyle{ arg(t_3)=80^o+240^o =320^o=320^o-360^o=-40^o}\)
(Oczywiści te równości to należy traktować jako równości argumentów nie liczb).
Proszę zauważyć, że są to te same kąty co na rysunku.
\(\displaystyle{ w_{1}= \frac{1}{2}*(p_1+t_3) = \frac{1}{2}*(cos(40^o)+i*sin(40^o)+cos(-40^o)+i*sin(-40^o))=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}*(cos(40^o)+i*sin(40^o)+cos(40^o)-i*sin(40^o))= \frac{1}{2}*(2*cos(40^o)) = cos40^o}\)
\(\displaystyle{ w_{2}= \frac{1}{2}*(p_2+t_2) = \frac{1}{2}*(cos(160^o)+i*sin(160^o)+cos(-160^o)+i*sin(-160^o))= \frac{1}{2}*(2*cos(160^o)) = cos160^o}\)
\(\displaystyle{ w_{3}= \frac{1}{2}*(p_3+t_1) = \frac{1}{2}*(cos(-80^o)+i*sin(-80^o)+cos(80^o)+i*sin(80^o))= \frac{1}{2}*(2*cos(80^o)) = cos80^o=sin10^o}\)
Jak widać
\(\displaystyle{ w_{1}, w_{2},w_{3}}\) są rzeczywiste bez znajomości wartości sinus 40 stopni.
Weźmy zatem
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}{2} + \frac{1}{2*\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{1}{2}*({{\sqrt[3]{\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}} + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}})}\)
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{1}{2}*({{\sqrt[3]{\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}}))}\)
Oznaczmy
\(\displaystyle{ \large z_1 ={\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \large z_2 ={\frac{1}{\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)
Liczby \(\displaystyle{ z_1 i z_2}\) mają moduły równe 1, więc ich pierwiastki też mają moduł równy 1.
\(\displaystyle{ arg(z_1)=\frac{2\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ arg(z_2) = 0-\frac{2\pi}{3}}\) (bo przy dzieleniu arguenty się odejmuje)
\(\displaystyle{ arg(z_2) = 2\pi-\frac{2\pi}{3}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \large x_{1} = \frac{1}{2}*{(\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2})}\)
Z \(\displaystyle{ z_1}\) mamy trzy pierwiastki (oznaczmy je \(\displaystyle{ p_1, p_2, p_3}\)) i z liczby \(\displaystyle{ z_2}\) mamy trzy pierwiastki \(\displaystyle{ (t_1, t_2, t_3)}\).
W ten sposób możemy zestawić 9 różnych rozwiązań.
Ale bierzemy tylko te, które są liczbami sprzężonymi.
(Przejdę na stopnie bo łatwiej zapisać.)
\(\displaystyle{ arg(z_1)=120^o}\)
\(\displaystyle{ arg(p_1)=40^o}\)
\(\displaystyle{ arg(p_2)=40^o+120^o = 160^o}\)
\(\displaystyle{ arg(p_3)=40^o+240^o = 280^o=280^o-360^o=-80^o}\)
\(\displaystyle{ arg(z_2)=240^o}\)
\(\displaystyle{ arg(t_1)=80^o}\)
\(\displaystyle{ arg(t_2)=80^o+120^o =200^o=200^o-360^o=-160^o}\)
\(\displaystyle{ arg(t_3)=80^o+240^o =320^o=320^o-360^o=-40^o}\)
(Oczywiści te równości to należy traktować jako równości argumentów nie liczb).
Proszę zauważyć, że są to te same kąty co na rysunku.
\(\displaystyle{ w_{1}= \frac{1}{2}*(p_1+t_3) = \frac{1}{2}*(cos(40^o)+i*sin(40^o)+cos(-40^o)+i*sin(-40^o))=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}*(cos(40^o)+i*sin(40^o)+cos(40^o)-i*sin(40^o))= \frac{1}{2}*(2*cos(40^o)) = cos40^o}\)
\(\displaystyle{ w_{2}= \frac{1}{2}*(p_2+t_2) = \frac{1}{2}*(cos(160^o)+i*sin(160^o)+cos(-160^o)+i*sin(-160^o))= \frac{1}{2}*(2*cos(160^o)) = cos160^o}\)
\(\displaystyle{ w_{3}= \frac{1}{2}*(p_3+t_1) = \frac{1}{2}*(cos(-80^o)+i*sin(-80^o)+cos(80^o)+i*sin(80^o))= \frac{1}{2}*(2*cos(80^o)) = cos80^o=sin10^o}\)
Jak widać
\(\displaystyle{ w_{1}, w_{2},w_{3}}\) są rzeczywiste bez znajomości wartości sinus 40 stopni.
Ostatnio zmieniony 19 sty 2005, o 20:51 przez W_Zygmunt, łącznie zmieniany 2 razy.