Równanie funkcyjne - znaleźć wielomiany

[realityoppa]

Wyznaczyć wszystkie wielomiany o współczynnikach rzeczywistych takie że \(\displaystyle{ W(x^{2}-y^{2})=W(x-y) \cdot W(x+y)}\) dla \(\displaystyle{ x,y}\) rzeczywistych.

[szw1710]

Wstawiamy \(\displaystyle{ x-y=u}\) oraz \(\displaystyle{ x+y=v}\) i natychmiast dostajemy, że \(\displaystyle{ W(uv)=W(u)W(v)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ u,v\in\RR}\). Tak więc mamy tu równanie ciągłej funkcji multyplikatywnej. Powiązując to równanie z równaniem Cauchy'ego dochodzimy do wniosku, że \(\displaystyle{ w(x)=x^n}\) włączając w to \(\displaystyle{ n=0}\) (czyli wielomian stale równy jeden). Nasze równanie spełnia też wielomian zerowy.