Nierówności wielomianowe z wartoscia bezwzgledna, pare pytań
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 21 sie 2012, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Nierówności wielomianowe z wartoscia bezwzgledna, pare pytań
Witajcie, mam kilka pytań co do moich zadań.
Mam taką nierówność
\(\displaystyle{ \left| x^{3}-x \right| \le 3x}\)
No więc zapisuje to bez modułu, wychodzi mi że
\(\displaystyle{ x\left(x^{2}-4 \right) \le 0}\)
czyli
\(\displaystyle{ x=0 \wedge x=2 \vee x=-2}\)
Żeby nie przedłużać, z pierwszego przedziału gdzie \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ;-2\right) \cup \left( 0;2\right)}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ x \in \left( 0;2\right)}\) a z przedziału \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2;0\right\rangle \cup \left\langle 2;+ \infty \right\rangle}\) wychodzi mi że \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0;2\right\rangle}\)
No i gdzieś jest błąd (mogę dać obliczenia jak ktoś będzie chciał). W odpowiedziach mam \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0;2\right\rangle}\) a jak wiadomo część wspólna tych przedziałów to \(\displaystyle{ x \in \left( 0;2\right)}\)
Drugi przykład
\(\displaystyle{ \left| x^{3}-3x\right| \ge 2}\)
No właśnie, tu zeruje się dla -1, tylko że nie mam pojęcia czemu Hornerem wychodzi mi reszta 2.
@edit
Zmieniłem nazwę tematu bo z pośpiechu źle wpisałem
Mam taką nierówność
\(\displaystyle{ \left| x^{3}-x \right| \le 3x}\)
No więc zapisuje to bez modułu, wychodzi mi że
\(\displaystyle{ x\left(x^{2}-4 \right) \le 0}\)
czyli
\(\displaystyle{ x=0 \wedge x=2 \vee x=-2}\)
Żeby nie przedłużać, z pierwszego przedziału gdzie \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ;-2\right) \cup \left( 0;2\right)}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ x \in \left( 0;2\right)}\) a z przedziału \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2;0\right\rangle \cup \left\langle 2;+ \infty \right\rangle}\) wychodzi mi że \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0;2\right\rangle}\)
No i gdzieś jest błąd (mogę dać obliczenia jak ktoś będzie chciał). W odpowiedziach mam \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0;2\right\rangle}\) a jak wiadomo część wspólna tych przedziałów to \(\displaystyle{ x \in \left( 0;2\right)}\)
Drugi przykład
\(\displaystyle{ \left| x^{3}-3x\right| \ge 2}\)
No właśnie, tu zeruje się dla -1, tylko że nie mam pojęcia czemu Hornerem wychodzi mi reszta 2.
@edit
Zmieniłem nazwę tematu bo z pośpiechu źle wpisałem
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Nierówności wielomianowe z wartoscia bezwzgledna, pare pytań
A nie powinno być \(\displaystyle{ x(x-1)(x+1) \ge 0}\)?\(\displaystyle{ x\left(x^{2}-4 \right) \le 0}\)
Co da, że "minus wstawiamy" dla \(\displaystyle{ x\in(-\infty;-1) \cup (0;1)}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Nierówności wielomianowe z wartoscia bezwzgledna, pare pytań
Nierówność \(\displaystyle{ |x^3-x|\le 3x}\) nie zawsze przybiera postać \(\displaystyle{ x^3-4x\le 0}\). Tak jest tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x^3-x\ge 0}\). W przeciwnym przypadku mamy następującą postać \(\displaystyle{ x^3+2x\ge 0}\).
Proponuję jednak pogłówkować nieco na początku, przed przystąpieniem do liczenia. Wiemy przecież, że wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną. Zatem aby nierówność miała sens, liczba \(\displaystyle{ 3x}\), jako nie mniejsza niż \(\displaystyle{ |x^3-x|}\), też musi mieć wartość nieujemną. To oznacza, że na pewno jest \(\displaystyle{ x\ge 0}\) i do takiego przypadku, już na wstępie, możemy się ograniczyć.
Mamy zatem \(\displaystyle{ |x^3-x|=|x(x-1)(x+1)|=x(x+1)|x-1|}\). Wystarczy teraz rozważyć nierówność \(\displaystyle{ x(x+1)|x-1|\le 3x}\) w przedziałach \(\displaystyle{ \langle 0,1), \langle 1,+\infty)}\).
pyzol, autor pytania miał zapewne na myśli pozbycie się już na początku symbolu wartości bezwzględnej (niestety bez dodatkowych niezbędnych założeń).
Proponuję jednak pogłówkować nieco na początku, przed przystąpieniem do liczenia. Wiemy przecież, że wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną. Zatem aby nierówność miała sens, liczba \(\displaystyle{ 3x}\), jako nie mniejsza niż \(\displaystyle{ |x^3-x|}\), też musi mieć wartość nieujemną. To oznacza, że na pewno jest \(\displaystyle{ x\ge 0}\) i do takiego przypadku, już na wstępie, możemy się ograniczyć.
Mamy zatem \(\displaystyle{ |x^3-x|=|x(x-1)(x+1)|=x(x+1)|x-1|}\). Wystarczy teraz rozważyć nierówność \(\displaystyle{ x(x+1)|x-1|\le 3x}\) w przedziałach \(\displaystyle{ \langle 0,1), \langle 1,+\infty)}\).
pyzol, autor pytania miał zapewne na myśli pozbycie się już na początku symbolu wartości bezwzględnej (niestety bez dodatkowych niezbędnych założeń).
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 21 sie 2012, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Nierówności wielomianowe z wartoscia bezwzgledna, pare pytań
A czemu w ten sposób?
Może napiszę jak ja to zrobiłem:
\(\displaystyle{ x^{3}-x \le 3x}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-4x \le 0}\)
\(\displaystyle{ x\left( x^{2}-4\right) \le 0}\)
Coś jest tu źle?
Aaa, no racja, zapomniałem o założeniach, teraz już wszystko jasne, dziękuje ślicznie.
Może napiszę jak ja to zrobiłem:
\(\displaystyle{ x^{3}-x \le 3x}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-4x \le 0}\)
\(\displaystyle{ x\left( x^{2}-4\right) \le 0}\)
Coś jest tu źle?
Aaa, no racja, zapomniałem o założeniach, teraz już wszystko jasne, dziękuje ślicznie.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Nierówności wielomianowe z wartoscia bezwzgledna, pare pytań
Zauważ, że \(\displaystyle{ |a|=a}\) tylko dla \(\displaystyle{ a\ge 0}\), dla \(\displaystyle{ a<0}\) jest natomiast \(\displaystyle{ |a|=-a}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 21 sie 2012, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Nierówności wielomianowe z wartoscia bezwzgledna, pare pytań
A można by zrobić tak jak pamiętam że robiłem z funkcją kwadratową, czyli sprawdzić kiedy moduł jest większy lub równy zeru, i na podstawie tego zrobić miejsca zerowe i przecięcia na wykresie?
Mam na myśli \(\displaystyle{ x^{3}-x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x\left( x^{2}-1\right) \ge 0}\)
Zrobić na wykresie miejsca zerowe 1, -1 i 0 i do tych miejsc robić przedziały?
Mam na myśli \(\displaystyle{ x^{3}-x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x\left( x^{2}-1\right) \ge 0}\)
Zrobić na wykresie miejsca zerowe 1, -1 i 0 i do tych miejsc robić przedziały?
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Nierówności wielomianowe z wartoscia bezwzgledna, pare pytań
Oczywiście, że tak, tylko ostrożnie. W zbiorze rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ x^3-x\ge 0}\) wyjściowa nierówność przybiera postać \(\displaystyle{ x^3-x\le 3x}\). Bierzemy zatem część wspólną zbiorów rozwiązań obu nierówności i mamy w ten sposób częściowe rozwiązanie (z jednego przypadku).
Podobnie w zbiorze rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ x^3-x<0}\) trzeba rozważyć nierówność \(\displaystyle{ x^3-x\ge -3x}\). I też bierzemy część wspólną.
Na koniec sumujemy otrzymane zbiory.
Metoda poprawna, acz nieco karkołomna.
Podobnie w zbiorze rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ x^3-x<0}\) trzeba rozważyć nierówność \(\displaystyle{ x^3-x\ge -3x}\). I też bierzemy część wspólną.
Na koniec sumujemy otrzymane zbiory.
Metoda poprawna, acz nieco karkołomna.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 21 sie 2012, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Nierówności wielomianowe z wartoscia bezwzgledna, pare pytań
Wiesz, może i karkołomna, ale jeżeli przez 2 lata tak mnie uczą, to jest mi jednak wygodniej
Będę po prostu robił to co pod modułem większe lub równe zero, potem 2 przedziały, tam gdzie dodatnie to moduł bez zmian, tam gdzie ujemne zmieniamy znaki i opuszczamy moduł.
Jeszcze jedno pytanie.
Kiedy nie można robić że moduł z \(\displaystyle{ x > y}\) i/lub moduł z \(\displaystyle{ x < -y}\)? Wydaje mi się, że wtedy gdy \(\displaystyle{ x}\) jest gdziekolwiek indziej poza modułem, mam rację?
Będę po prostu robił to co pod modułem większe lub równe zero, potem 2 przedziały, tam gdzie dodatnie to moduł bez zmian, tam gdzie ujemne zmieniamy znaki i opuszczamy moduł.
Jeszcze jedno pytanie.
Kiedy nie można robić że moduł z \(\displaystyle{ x > y}\) i/lub moduł z \(\displaystyle{ x < -y}\)? Wydaje mi się, że wtedy gdy \(\displaystyle{ x}\) jest gdziekolwiek indziej poza modułem, mam rację?
Ostatnio zmieniony 25 sie 2013, o 21:46 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Stosuj LaTeX do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Poprawa wiadomości. Stosuj LaTeX do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 21 sie 2012, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Nierówności wielomianowe z wartoscia bezwzgledna, pare pytań
Hmm.. a jakie? Bo szczerze mówiąc to teraz mam już mętlik w głowie :/
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Nierówności wielomianowe z wartoscia bezwzgledna, pare pytań
To zostaw tak jak czaisz - nie szukaj wyjątków - z definicji jak nie ma x-sa poza kreskami; przedziałami jak jest.