reszta z dzielenia

[dulcemaria94]

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ P(x)=x^{2003}}\) +1 przez dwumian \(\displaystyle{ x^{2}-1}\) .
Jedyne co zrobiłam to rozłożyłam \(\displaystyle{ P(x)}\) ze wzoru: \(\displaystyle{ a ^{2003}+b ^{2003}}\)

[szw1710]

\(\displaystyle{ x^2-1=(x-1)(x+1)}\). Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\) jest liczbą i wynosi \(\displaystyle{ w(a)}\). A więc reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ x-1}\) to \(\displaystyle{ 2}\), a przez \(\displaystyle{ x+1}\) to \(\displaystyle{ 0}\). Znając te reszty z dzielenia przez poszczególne jednomiany można wyznaczyć resztę z dzielenia przez iloczyn tych jednomianów. Zauważ, że reszta ma stopień mniejszy niż stopień dzielnika, więc jest wielomianem liniowym: \(\displaystyle{ ax+b}\). Połącz te informacje w jedną całość.

Można też znacznie prościej: zwyczajnie zapisz \(\displaystyle{ x^{2003}+1=q(x)(x^2-1)+ax+b}\). Teraz policz wartości obu stron dla \(\displaystyle{ x=-1}\) i \(\displaystyle{ x=1}\).