Stopień wielomianu

[Shyman]

Witam
Mam nieco trywialne pytanie na , które nie potrafię znaleźć jednoznacznej odpowiedzi. Mam wielomian w postaci: \(\displaystyle{ y=\frac{x+1}{13,16x-12,72}}\) . Jaki jest stopien w/w wielomianu , zero czy jeden ?

Z góry dziękuję za odpowiedz.

[bakala12]

Zacznijmy od tego że to nie jest wielomian tylko funkcja wymierna.

[Shyman]

W zadaniu , które rozwiązuje mam parametr \(\displaystyle{ t}\), który opisany jest zależnością \(\displaystyle{ t \ge deg(y)+deg(u)}\) gdzie \(\displaystyle{ u= x^{5} +1}\) i tutaj się pojawia mój problem z określeniem \(\displaystyle{ deg(y)}\).
Powinienem brać tutaj pod uwagę stopień licznika czy mianownika ? ( akurat tutaj oba stopnie są \(\displaystyle{ 1}\) , ale w sytuacji gdyby stopień licznika byłby równy \(\displaystyle{ 2}\) , a mianownika \(\displaystyle{ 1}\) ? )

[bakala12]

Ja się nie spotkałem z czymś takim jak stopień funkcji wymiernej, ale być może takie coś istnieje. Może przytocz całą treść zadania.

[yorgin]

Ja też nie spotkałem, ale wiki podpowiada, że jest to większy ze stopni licznika i mianownika.

[bakala12]

No ale jeżeli \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją wymierną zaś \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ H}\) są wielomianami oraz \(\displaystyle{ F\left( x\right)= \frac{G\left( x\right) }{H\left( x\right) }}\) to dosyć intuicyjne będzie stwierdzenie, że \(\displaystyle{ deg F=deg G \ - \ deg H}\)
Intuicyjne dlatego, że biorąc dowolny wielomian \(\displaystyle{ P\left( x\right)}\) stopnia \(\displaystyle{ n=degF}\) (zdefiniowane jak wyżej) to granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{F\left( x\right) }{P\left( x\right) }}\) istnieje i jest skończona. Ale to dla \(\displaystyle{ degF \ge 0}\), bo jak \(\displaystyle{ deg F<0}\) to nie ma takich wielomianów.
No chyba jednak trochę mnie poniosło z tą intuicyjną definicją

[yorgin]

Rzuć okiem . Drugi wyróżniony wzór podaje stopień funkcji wymiernej.

[bakala12]

Tak, masz rację. Źródło wydaje się być wiarygodne więc pewnie tak jest.

[Gouranga]

ciekawe, że tak to wychodzi, bo gdybym miał sam to określić nie wiedząc o tym to bym to zapisał jako iloraz dwóch wielomianów, po czym wykonałbym dzielenie \(\displaystyle{ \left(x+1\right):\left(x-\frac{12.72}{13.16}\right) = 1}\) i reszta \(\displaystyle{ \frac{25.88}{13.16}}\) więc stopień \(\displaystyle{ 0}\)

[bakala12]

Gouranga, czyli postąpiłbyś według mojej intuicyjnej definicji. Ale ktoś zdefiniował to inaczej

[Shyman]

Dziękuję za pomoc !

Pierwotnie też byłem przekonany do tzw. intuicyjnej metody , ale jak widać "chłopski rozum" nie zawsze jest zgodny z teorią.