Podzielność wielomianu
-
- Użytkownik
- Posty: 1023
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 15 razy
Podzielność wielomianu
Czy wielomian \(\displaystyle{ x^{60}-1}\) jest podzielny (w pierścieniu wielomianów o współczynnikach rzeczywistych) przez wielomian:
a) \(\displaystyle{ x^3 +1}\) ;
b) \(\displaystyle{ x^4 +1}\) ;
c) \(\displaystyle{ x^5-1}\) ;
d) \(\displaystyle{ x^4-1}\) ?
Wszystkie twierdzenia odnośnie podzielności jakie znam dotyczą dzielenie przez jednomian postaci \(\displaystyle{ x-a}\). Z czego skorzystać w powyższym zadaniu?
a) \(\displaystyle{ x^3 +1}\) ;
b) \(\displaystyle{ x^4 +1}\) ;
c) \(\displaystyle{ x^5-1}\) ;
d) \(\displaystyle{ x^4-1}\) ?
Wszystkie twierdzenia odnośnie podzielności jakie znam dotyczą dzielenie przez jednomian postaci \(\displaystyle{ x-a}\). Z czego skorzystać w powyższym zadaniu?
-
- Użytkownik
- Posty: 1594
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 247 razy
Podzielność wielomianu
jedyne co możnaby tu rozpisać to:
\(\displaystyle{ x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)\\
\\
x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}\)
\(\displaystyle{ x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)\\
\\
x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Podzielność wielomianu
c) i d) wychodzą od ręki dzięki wzorowi skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})\;}\)
\(\displaystyle{ a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})\;}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1023
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 15 razy
Podzielność wielomianu
Nie za bardzo rozumiem twojej wypowiedzi. Co mi daje \(\displaystyle{ NWW}\)? Jak pisałem, z tw. Bezout wiem jak korzystać gdy dzielę przez jednomian, tutaj nie potrafię zastosować tego twierdzenia.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Podzielność wielomianu
MakCis, możesz rozważać również pierwiastki zespolone wielomianów, dla nich również twierdzenie Bezout'a jest prawdziwe. Ale ja także chętnie dowiem się o co chodziło Vaxowi.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Podzielność wielomianu
Np podpunkt a, \(\displaystyle{ x^{60}-1 = (x^3)^{20}-1}\) i mamy sprawdzić, czy dzieli się przez \(\displaystyle{ x^3+1}\), traktując to jako wielomian niewiadomej \(\displaystyle{ t=x^3}\) mamy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ W(t) = t^{20}-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ t+1}\), a to wynika od razu z tw. Bezout, bo \(\displaystyle{ W(-1) = 0}\), więc istotnie \(\displaystyle{ x^3+1 \mid x^{60}-1}\), podobnie pozostałe podpunkty.
-
- Użytkownik
- Posty: 1023
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 15 razy
Podzielność wielomianu
Ok, to akurat jest całkiem sprytne. A co zrobić w przypadku gdybym chciał sprawdzić podzielność wielomianów \(\displaystyle{ x^{13} - 1}\) oraz \(\displaystyle{ x^{11} + 1}\) przez \(\displaystyle{ x^2 - 1}\)?
Tutaj ten myk już nie zadziała, czy jest więc inny sposób niż wzory skróconego mnożenia?
Tutaj ten myk już nie zadziała, czy jest więc inny sposób niż wzory skróconego mnożenia?
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Podzielność wielomianu
Nie zadziała z prostej przyczyny: wielomiany \(\displaystyle{ x^{13} - 1}\) oraz \(\displaystyle{ x^{11} - 1}\) nie dzielą się przez \(\displaystyle{ x^2 - 1}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Podzielność wielomianu
Liczba \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ x^2-1}\) ale nie jest pierwiastkiem żadnego z wielomianów \(\displaystyle{ x^{13}-1}\) oraz \(\displaystyle{ x^{11}-1}\).