Podzielność wielomianu

[MakCis]

Czy wielomian \(\displaystyle{ x^{60}-1}\) jest podzielny (w pierścieniu wielomianów o współczynnikach rzeczywistych) przez wielomian:

a) \(\displaystyle{ x^3 +1}\) ;
b) \(\displaystyle{ x^4 +1}\) ;
c) \(\displaystyle{ x^5-1}\) ;
d) \(\displaystyle{ x^4-1}\) ?

Wszystkie twierdzenia odnośnie podzielności jakie znam dotyczą dzielenie przez jednomian postaci \(\displaystyle{ x-a}\). Z czego skorzystać w powyższym zadaniu?

[Gouranga]

jedyne co możnaby tu rozpisać to:
\(\displaystyle{ x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)\\
\\
x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}\)

[yorgin]

c) i d) wychodzą od ręki dzięki wzorowi skróconego mnożenia

\(\displaystyle{ a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})\;}\)

[Vax]

Zauważ, że \(\displaystyle{ NWW(3,4,5) = 60}\), skorzystaj z tw. Bezout.

[MakCis]

Nie za bardzo rozumiem twojej wypowiedzi. Co mi daje \(\displaystyle{ NWW}\)? Jak pisałem, z tw. Bezout wiem jak korzystać gdy dzielę przez jednomian, tutaj nie potrafię zastosować tego twierdzenia.

[bakala12]

MakCis, możesz rozważać również pierwiastki zespolone wielomianów, dla nich również twierdzenie Bezout'a jest prawdziwe. Ale ja także chętnie dowiem się o co chodziło Vaxowi.

[Vax]

Np podpunkt a, \(\displaystyle{ x^{60}-1 = (x^3)^{20}-1}\) i mamy sprawdzić, czy dzieli się przez \(\displaystyle{ x^3+1}\), traktując to jako wielomian niewiadomej \(\displaystyle{ t=x^3}\) mamy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ W(t) = t^{20}-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ t+1}\), a to wynika od razu z tw. Bezout, bo \(\displaystyle{ W(-1) = 0}\), więc istotnie \(\displaystyle{ x^3+1 \mid x^{60}-1}\), podobnie pozostałe podpunkty.

[MakCis]

Ok, to akurat jest całkiem sprytne. A co zrobić w przypadku gdybym chciał sprawdzić podzielność wielomianów \(\displaystyle{ x^{13} - 1}\) oraz \(\displaystyle{ x^{11} + 1}\) przez \(\displaystyle{ x^2 - 1}\)?

Tutaj ten myk już nie zadziała, czy jest więc inny sposób niż wzory skróconego mnożenia?

[Marcinek665]

Nie zadziała z prostej przyczyny: wielomiany \(\displaystyle{ x^{13} - 1}\) oraz \(\displaystyle{ x^{11} - 1}\) nie dzielą się przez \(\displaystyle{ x^2 - 1}\)

[MakCis]

A jak do tego dojść? Da się to jakoś uzasadnić?

[yorgin]

Liczba \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ x^2-1}\) ale nie jest pierwiastkiem żadnego z wielomianów \(\displaystyle{ x^{13}-1}\) oraz \(\displaystyle{ x^{11}-1}\).