Wyznacz współczynnik i pierwiastki wielomianu

[adam187]

Wielomian W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c ma trzy pierwiastki,które są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie równym 2. Styczne do wykresu tego wielomianu mają w punktach odciętych 1 i 2 mają współczynniki kierunkowe równe odpowiednio 3 i -2 . Wyznacz współczynnik i pierwiastki wielomianu

Jak dla mnie to x1 , x2 , x3 to ciag geometryczny a

x2/x1=x3/x2

teraz nie wiem jak ruszyc te styczne i odciete wiec zwracam sie o pomoc.

[g]

to jest rownowazne temu, ze f'(1) = 3 i f'(2) = -2.

[bisz]

z ciekawosci podjalem sie tego zadania noi robiac uklady rownan z pochodnych aby powyliczac a b c wychodzi mi b =0 ? no to znaczy chyba ze bedzie jeden pierwiastek 0, a jak to moze byc skoro pierwiastki sa wyrazami ciagu ..... co robie zle ? i jak to trzeba zrobic?

[gvalch'ca]

Hmmm.... Mi wyszlo b=14

Wzor na pochodna to:
f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

Korzystając, z tego, co napisał g, po podstawieniu f'(1) = 3 i f'(2) = -2 mamy:
3 + 2a + b = 3
12 + 4a + b = -2

2a + b = 0
14 + 4a + b = 0

2a + b = 14 + 4a + b
2a = -14
b = -2a

a = -7
b= 14

Po podstawieniu tego do wzoru funkcji mamy:
f(x) = x^3 - 7x^2 + 14x + c

Wiemy, że:
f(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)

f(x) = x^3 - x^2*(x_1 + x_2 + x_3) + x*[x_1*(x_2 + x_3) + x_2*x_3] - x_1*x_2*x_3

Stąd:

x_1 + x_2 + x_3 = 7
x_1*(x_2 + x_3) + x_2*x_3 = -14
- x_1*x_2*x_3 = c

Z warunku, że x_2 = 2*x_1 oraz x_3 = 4*x_1 mamy w pierwszym równaniu:

7x_1 = 7

x_1 = 1 x_2 = 2 x_3 = 4

Stąd c = -(2*4*1) = -8