Wyznacz największą liczbę naturalną k

[mariusz2409]

Wyznacz taką największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ k}\), aby dla każdej liczby naturalnej nieparzystej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ n^6-n^4-n^2+1}\) była podzielna przez \(\displaystyle{ 2^k}\)

Mam małą wątpliwość w tym zadaniu gdyż mój wynik różni się od tego w odpowiedziach

zacząłem od zapisania \(\displaystyle{ n}\) jako \(\displaystyle{ n=2t+1 \wedge t\in C}\)

oraz zapisanie równości
\(\displaystyle{ n^6-n^4-n^2+1=2^k \cdot x}\)

następnie przekształciłem liczbę \(\displaystyle{ n^6-n^4-n^2+1}\) do postaci \(\displaystyle{ (n+1)^2(n-1)^2(n^2+1)}\) po czym korzystając z tego że \(\displaystyle{ n=2t+1}\) zapisałem liczbę jako \(\displaystyle{ (2t+2)^2 \cdot
(2t)^2 \cdot ((2t+1)^2+1)}\) po spotęgowaniu i wyłączeniu przed nawias otrzymałem

\(\displaystyle{ 2^5(t+1)^2 \cdot t^2 \cdot (2t^2+2t+1)}\)

z czego wychodzi że \(\displaystyle{ k=5}\) a w odpowiedziach jest że \(\displaystyle{ k=7}\)

[kamil13151]

\(\displaystyle{ n^6-n^4-n^2+1 \neq (n+1)^2(n-1)^2(n^2-1)}\)

[mariusz2409]

sorry literówka powinno być \(\displaystyle{ (n+1)^2(n-1)^2(n^2+1)}\)

[kamil13151]

Tutaj skąd minus?
\(\displaystyle{ (2t+2)^2 \cdot (2t)^2 \cdot ((2t+1)^2 \red- \black 1)}\)

[mariusz2409]

nie zauważyłem i nie poprawiłem

[robertm19]

\(\displaystyle{ n^4(n^2-1)-(n^2-1)=(n^2-1)(n^4-1)=(n^2-1)^2(n^2+1)}\)
\(\displaystyle{ n=2t+1}\)
\(\displaystyle{ (4t^2+4t)^2(4t^2+4t+2)=2^4(t^2+t)^2\cdot (2t^2+2t+1)=2^5\cdot t^2(t+1)^2(2t^2+2t+1)}\)
jeżeli t jest parzyste to dzieli się przez dwa, \(\displaystyle{ t^2}\) przez \(\displaystyle{ 2^2}\)
jeżeli t jest nieparzyste to t+1 jest parzyste i dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^2}\).

[Gouranga]

pytanie:
w treści zadania napisałeś \(\displaystyle{ n^6 - n^4 - n^4 + 1}\) a dalej liczysz dla \(\displaystyle{ n^6 - n^4 - n^2 + 1}\)
to która wersja jest poprawna?

[robertm19]

Dałeś pochwałe ale mam jeszcze jedno na sumieniu. jeżeli \(\displaystyle{ t=4c}\) to też jest parzystą i k równa się 9. Ale że ma zachodzić dla każdej nieparzystej n, to dla t=1 także, więc największe k to 7.

[mariusz2409]

Gouranga już poprawiłem, sorry za tyle literówek. Dzięki Robert za pomoc