Witam!
Prosiłbym o pomoc z następującym zadaniem:
Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest\(\displaystyle{ \sqrt[5]{2}+\frac{1}{\sqrt[5]{2}}}\)
Zacząłem od podstawienia:
\(\displaystyle{ x=\sqrt[5]{2}+\frac{1}{\sqrt[5]{2}}}\)
Nie chciałbym jednak podnosić tego do piątej potęgi. Znajdzie się jakiś zgrabniejszy sposób?
Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych...
-
szw1710
Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych...
Patrząc na wiek nie wiem jak z Twoją wiedzą z algebry. Tutaj mógłbyś znaleźć wskazówkę: ... -algebraic , zobacz też do tego wątku: 301069.htm
Generalnie liczba \(\displaystyle{ \sqrt[5]{2}}\) jest algebraiczna jako pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ x^5-2}\), liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[5]{2}}}\) też jest algebraiczna jako pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ 2x^5-1}\). Pozostaje kwestia wykazania, że suma tych dwóch liczb jest algebraiczna. Ogólnie suma dwóch liczb algebraicznych jest algebraiczna. Chodzi o to, by próbować naśladować dowód tego faktu odnosząc się do konkretnych dwóch liczb algebraicznych.
Generalnie liczba \(\displaystyle{ \sqrt[5]{2}}\) jest algebraiczna jako pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ x^5-2}\), liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[5]{2}}}\) też jest algebraiczna jako pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ 2x^5-1}\). Pozostaje kwestia wykazania, że suma tych dwóch liczb jest algebraiczna. Ogólnie suma dwóch liczb algebraicznych jest algebraiczna. Chodzi o to, by próbować naśladować dowód tego faktu odnosząc się do konkretnych dwóch liczb algebraicznych.
-
Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych...
Gdybyśmy jednak chcieli robić to elementarnie, to nie unikniemy chyba tego wyrażenia \(\displaystyle{ \left( x+\frac{1}{x}\right)^{5}}\)
Ale to podnoszenie do piątej potęgi nie jest tutaj takie straszne.
Ale to podnoszenie do piątej potęgi nie jest tutaj takie straszne.
-
Rooster
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 7 lut 2012, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 40 razy
Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych...
Dziękuję za odpowiedzi.
W jakichś swoich papierach doszukałem się rozwiązania analogicznego przykładu i odnosząc się do tego:
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{2} + \frac{1}{\sqrt[5]{2}}=x}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt[5]{2} + \frac{1}{\sqrt[5]{2}})^2=x^2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{4} + \frac{1}{\sqrt[5]{4}}=x^2 -2}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt[5]{2}-\frac{1}{\sqrt[5]{2}})^2=\sqrt[5]{4}-2 + \frac{1}{\sqrt[5]{4}}=x^2 - 4}\)
Tutaj jeszcze okej, ale w kolejnym kroku nie wiem skąd się to wzięło:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt[5]{2}=\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}\\\ \frac{1}{\sqrt[5]{2}}=\frac{x-\sqrt{x^2-4}}{2}\ \end{cases}}\)
Co ciekawe podniesienie obu stron w obu równaniach do piątej potęgi i zsumowanie tego prowadzi do rozwiązania, ale nie wiem skąd pojawił się ten pomysł na zrobienie układu równań.
W jakichś swoich papierach doszukałem się rozwiązania analogicznego przykładu i odnosząc się do tego:
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{2} + \frac{1}{\sqrt[5]{2}}=x}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt[5]{2} + \frac{1}{\sqrt[5]{2}})^2=x^2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{4} + \frac{1}{\sqrt[5]{4}}=x^2 -2}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt[5]{2}-\frac{1}{\sqrt[5]{2}})^2=\sqrt[5]{4}-2 + \frac{1}{\sqrt[5]{4}}=x^2 - 4}\)
Tutaj jeszcze okej, ale w kolejnym kroku nie wiem skąd się to wzięło:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt[5]{2}=\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}\\\ \frac{1}{\sqrt[5]{2}}=\frac{x-\sqrt{x^2-4}}{2}\ \end{cases}}\)
Co ciekawe podniesienie obu stron w obu równaniach do piątej potęgi i zsumowanie tego prowadzi do rozwiązania, ale nie wiem skąd pojawił się ten pomysł na zrobienie układu równań.
-
Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych...
\(\displaystyle{ \left(x+\frac{1}{x}\right)^{5}=x^{5}+5x^{3}+10x+10\frac{1}{x}+5\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{5}}=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}+5\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^{2}-1+\frac{1}{x^{2}}\right)+10\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}+5\left( x+\frac{1}{x}\right) \left( \left( x+\frac{1}{x}\right)^{2}-3 \right)+10\left( x+\frac{1}{x}\right)=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}+5\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}-15\left( x+\frac{1}{x}\right) +10\left( x+\frac{1}{x}\right) =x^{5}+\frac{1}{x^{5}}+5\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}-5\left( x+\frac{1}{x}\right)}\)
Niech \(\displaystyle{ y=\left( x+\frac{1}{x}\right)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ y^{5}=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}+5y^{3}-5y}\)
Niech \(\displaystyle{ x=\sqrt[5]{2}}\), wtedy:
\(\displaystyle{ y^{5}-5y^{3}+5y-2-\frac{1}{2}=0}\)
Pierwiastkiem tego równania jest \(\displaystyle{ y=x+\frac{1}{x}=\sqrt[5]{2}+\frac{1}{\sqrt[5]{2}}}\), a skoro mamy współczynniki wymierne, to wystarczy pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników owych wspólnych wymiernych zredukowanych współczynników.
Niech \(\displaystyle{ y=\left( x+\frac{1}{x}\right)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ y^{5}=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}+5y^{3}-5y}\)
Niech \(\displaystyle{ x=\sqrt[5]{2}}\), wtedy:
\(\displaystyle{ y^{5}-5y^{3}+5y-2-\frac{1}{2}=0}\)
Pierwiastkiem tego równania jest \(\displaystyle{ y=x+\frac{1}{x}=\sqrt[5]{2}+\frac{1}{\sqrt[5]{2}}}\), a skoro mamy współczynniki wymierne, to wystarczy pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników owych wspólnych wymiernych zredukowanych współczynników.