Jak znaleźć pierwiastki tego wielomianu?

[aat]

\(\displaystyle{ 3\sqrt[3]{x}=-3x+6/:3}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}=-x+2}\)

\(\displaystyle{ -x^{3}+6x^{2}-13x+8=0}\)

Jak dalej postępować?

[robertm19]

Zaczynamy od badania dzielników wyrazu wolnego.

[Spektralny]

Z drugiego równania widać niechybnie, że \(\displaystyle{ x=1}\) jest pierwiastkiem. Teraz podziel trzecie równanie przez jednomian \(\displaystyle{ x-1}\) a uzyskasz równanie kwadratowe.

[papus]

Można też tak zrobić

\(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{x} = -3x + 6 / : 3}\)

\(\displaystyle{ x + \sqrt[3]{x} - 2 = 0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x} = t}\)

\(\displaystyle{ t^3 + t - 2 = 0}\)

\(\displaystyle{ t^3 - 1 + t - 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ (t - 1)(t^2 + t + 1) + t - 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ (t - 1)(t^2 + t + 2) = 0}\)

\(\displaystyle{ t - 1 = 0 \vee t^2 + t + 2 = 0}\)

\(\displaystyle{ t = 1 \vee \Delta < 0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x} = 1 / ^3}\)

\(\displaystyle{ x = 1}\)

[Gouranga]

wiedząc, że jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ x=1}\) podziel wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\)

\(\displaystyle{ \left(-x^3 + 6x^2 - 13x + 8\right) : \left(x-1\right) = -x^2 + 5x - 8\\
\\
\Delta = 5^2 - 4\cdot(-1)\cdot(-8) = 25 - 32 = -7}\)

Więc nie ma innych pierwiastków rzeczywistych oprócz \(\displaystyle{ x=1}\)
Ewentualnie pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ x = \frac{5+i\sqrt{7}}{2}, x = \frac{5-i\sqrt{7}}{2}}\)