Pochodna z wielomianu

[Avokado90]

Witam,

jak z wielomianu

\(\displaystyle{ p(x)= \prod_{i=0}^{k} (x-x_{i})}\)

wyznaczyć jego pochodną?

[yorgin]

Skorzystaj we wzoru na pochodną iloczynu wielu składników.

[bakala12]

Ewentualnie można spróbować, zapisać kolejne współczynniki rozwinięcia tego wielomianu za pomocą wzorów Viete'a i dopiero teraz różniczkować, ale to chyba trudniejsze podejście.

[Avokado90]

coś takiego?

\(\displaystyle{ (x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{k}) =
(x-x_{0})'(x-x_{1})...(x-x_{k})+(x-x_{0})[(x-x_{1})...(x-x_{k})]'=
(x-x_{0})'(x-x_{1})...(x-x_{k})+(x-x_{0})[(x-x_{1})'...(x-x_{k})+
...+(x-x_{k-2})'(x-x_{k-1})(x-x_{k})+(x-x_{k-2})[(x-x_{k-1})(x-x_{k})]' ]'}\)

Proszę o sprawdzenie i ewentualne poprawienie. Wiem o co mniej więcej chodzi, ale mam tendencję do pomyłek której nie potrafię poskromić :/

[bakala12]

Zauważ dodatkowo, że \(\displaystyle{ \left( x-x _{i}\right)'=1}\) więc to można jeszcze uprościć. Trzeba wynik zapisać bez żadnych primów, więc skorzystaj z rady yorgina i użyj wzoru:
\(\displaystyle{ \left( f _{1} \cdot f _{2} \cdot f _{3} \cdot ... \cdot f _{n} \right)'=f '_{1} \cdot f _{2} \cdot f _{3} \cdot ... \cdot f _{n}+ f _{1} \cdot f' _{2} \cdot f _{3} \cdot ... \cdot f _{n}+ f _{1} \cdot f _{2} \cdot f' _{3} \cdot ... \cdot f _{n}+...+ f _{1} \cdot f _{2} \cdot f _{3} \cdot ... \cdot f '_{n}}\)

[Avokado90]

Otrzymałam

\(\displaystyle{ [(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{k})]'=(x-x_{0})'(x-x_{1})...(x-x_{k})+(x-x_{0})(x-x_{1})'...(x-x_{k})+...+(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{k})'=(x-x_{1})...(x-x_{k})+(x-x_{0})...(x-x_{k})+...+(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{k-1})}\)

i nadal mi nie przypomina to pochodnej. Trzeba coś jeszcze z tym zrobić?-- 9 lip 2013, o 12:26 --Bardzo proszę o pomoc, na prawdę nie wiem jak ruszyć dalej..

[yorgin]

Wszystko to można ładnie zapisać w takiej zwięzłej postaci:

\(\displaystyle{ \left(\prod\limits_{i=0}^k(x-x_i)\right)'=\sum\limits_{i=0}^k \left[(x-x_0)\ldots(x-x_i)'\ldots(x-x_k)\right]=\sum\limits_{i=0}^k\prod\limits_{j=0, j\neq i}^k (x-x_j)}\)