uzasadnij, że x(x+1)(x+2)=2006^3 nie ma pierw. całkowitych

[kelezor]

uzasadnij, że x(x+1)(x+2)=2006^3 nie ma pierw. całkowitych

pomocne może być to, że 2006 = 2*17*59 i że 2 , 17, 59 to l .pierwsze

będę wdzięczny za pomoc!!

[wb]

x, x+1, x+2 są to trzy kolejne liczby całkowite.

Łatwo sprawdzić, że iloczyn: \(\displaystyle{ 2005\cdot 2006\cdot 20072006^3}\)
zatem z zbiorze liczb całkowitych nie ma rozwiązania.

[kelezor]

dzięki, wb


ja do tego podchodziłem w ten sposób: zakładam, że x (x+1) i (x+2) są l. całkowitymi. lewa strona jest podzielna przez 3, prawa nie. w zwiazku z tym, ktorys z x musi miec postac k*3n, k i n należy do C

dajmy, że \(\displaystyle{ x=k*3n}\)

\(\displaystyle{ k*3n * (x+1) (x+2) = (2*17*59)^3

k*n (x+1) (x+2) = (2*17*59)^3 /3}\)

więc (x+1) lub (x+2) powinien mieć postać (jakaś liczba niepodzielna przez 3)/3, a to przeczy założeniu

tylko jak to ładnie zapisać?

[*Kasia]

Może napisz dowód nie wprost?
Załóżmy, że równanie ma pierwiastki całkowite. I wtedy lewa jest podzielna przez 3, prawa nie. Sprzeczność.

[Fanik]

Ja mam inne rozwiązanie - lewa strona to jest iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Możesz wykazać, że iloczyn dowolnych trzech takich liczb jest zawsze podzielny przez 6 (albo indukcyjnie, albo dlatego że w trzech takich liczbach jedna jest pozielna przez 3 i conajmniej jedna przez 2, a 3*2=6).
Prawa strona natomiast przez 6 podzielna nie jest, co kończy dowód.