dowód z wielomianów

przemek5555 · Post autor: **przemek5555** » 9 kwie 2007, o 20:29

Wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych spełnia warunek
W(2001)W(2002)=2003
Wykaż, że wielomian ten nie ma pierwiastków całkowitych.

Jak ktoś pomoże mi rozwiązać to zadanie będę bardzo wdzięczny

Sir George · Post autor: **Sir George** » 14 kwie 2007, o 22:34

2003 jest liczbą pierwszą, a skoro W(2001) i W(2002) są liczbami całkowitymi, to W(2001)=�1 i W(2002)=�2003 albo W(2001)=�2003 i W(2002)=�1. Jeśli liczba całkowita c jest pierwiastkiem wielomianu W, to liczba W(x) jest podzielna przez x-c, czyli 2001-c|1 i 2002-c|2003 albo 2001-c|2003 i 2002-c|1, co daje 2001-c=�1 i 2002-c=�2003 lub �1, albo 2001-c=�2003 lub �1 i 2002-c=�1. Łatwo zauważyć już sprzeczność

przemek5555 · Post autor: **przemek5555** » 15 kwie 2007, o 01:22

Dobrze myślisz,z tym że ty wziąłeś pod uwagę tylko jedną możliwość(tak mnie się przynajmniej wydaje),ponieważ w zadaniu jest podane że wielomian w(x) ma współczynniki całkowite,a ty przyjełeś że w(2001) i W(2002) jest liczbą całkowitą, a tak chyba nie musi być.

[ Dodano: 15 Kwiecień 2007, 01:54 ]
Przepraszam,głupote powiedziałem we wcześniejszym poście(póżna godzina);jeśli wielomian ma współczynniki całkowite to oczywiście w(2001) i w(2002) muszą być liczbami całkowitymi.
Dziękuje bardzo za rozwiązanie.

[ Dodano: 15 Kwiecień 2007, 10:04 ]
Możesz mi wyjaśnić jeszcze drugą część swojego dowodu,boo nie bardzo ją rozumiem.
"Jeśli liczba całkowita c jest pierwiastkiem wielomianu W, to liczba W(x) jest podzielna przez x-c"-to jest oczywiste

"czyli 2001-c|1 i 2002-c|2003 albo 2001-c|2003 i 2002-c|1, co daje 2001-c=�1 i 2002-c=�2003 lub �1, albo 2001-c=�2003 lub �1 i 2002-c=�1."-
tych przekształceń nie rozumiem

Sir George · Post autor: **Sir George** » 16 kwie 2007, o 10:09

przemek5555 pisze:Jeśli liczba całkowita c jest pierwiastkiem wielomianu W

... to wielomian W(x) jest postaci (x-c)U(x dla pewnego innego wielomianu U. Stąd W(x) podzielny przez jednomian x-c, czyli dla ustalonej wartości x liczba W(x) podzielna jest przez liczbę x-c

[ Dodano: 16 Kwiecień 2007, 11:13 ]
Czyli również liczba |W(x)| podzielna jest przez liczbę x-c A skoro

Sir George pisze:W(2001)=�1 i W(2002)=�2003 albo W(2001)=�2003 i W(2002)=�1

to wówczas

przemek5555 pisze:czyli 2001-c|1 i 2002-c|2003 albo 2001-c|2003 i 2002-c|1

[ Dodano: 16 Kwiecień 2007, 11:15 ]
Dalej korzystasz z tego, że 2003 jest pierwsza, co daje

przemek5555 pisze:2001-c=�1 i 2002-c=�2003 lub �1, albo 2001-c=�2003 lub �1 i 2002-c=�1

[ Dodano: 16 Kwiecień 2007, 11:16 ]
... ale to już prawie "kawa na ławę"...