(3 zadania) Rozwiąż równania wielomianowe

[basia]

1) Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^{3}+3x+3=0}\). Tutaj jest wskazówka, żeby użyć podstawienia x=u+v takiego, że uv=-1 ale mi to jakoś nie ułatwia.
2) Dla jakich a układ ma trzy różne rozwiązania?
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x^2-y^2=0\\(x-a)^2+y^2=1\end{array}\right.}\)
3) Znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=2x^5-x^4-10x^3-(n+1)x^2+12nx+n^2}\) o współczynnikach całkowitych wiedząć, że jednym z nich jest rozwiązanie równania: \(\displaystyle{ x+x^3+x^5+...=\frac{2}{3}}\)

Proszę o pomoc

[Arbooz]

1) Hmm, ciekawe. Robię na bieżąco :]

x^3 + 3x + 3 = 0 ; niech x = u + v i uv = -1
(u + v)^3 + 3(u + v) + 3 = 0
u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + 3u + 3v + 3 = 0; teraz na mocy tego, że uv = -1
u^3 - 3u - 3v + v^3 + 3u + 3v + 3 = 0
u^3 + v^3 + 3 = 0; ponownie na mocy uv = -1
-1/v^3 + v^3 + = 0 // (v^3)
v^6 + 3*v^3 - 1 = 0; podstawiamy v^3 = t
t^2 + 3t - 1 = 0
teraz normalnie liczymy deltę i wyznaczamy pierwiastki, skąd otrzymamy:
t_1 = [-3 + sqrt(13)]/2 oraz t_2 = [-3 - sqrt(13)]/2; zatem powracając do v:
v_1 = sqrt3 oraz v_2 = sqrt3; stąd wyznaczamy u_1 i u_2
u_1 = sqrt3 oraz u_2 = sqrt3; zatem mamy
x_1 = sqrt3 + sqrt3 oraz x_2 = sqrt3 + sqrt3

Ufff, mam nadzieję, że to jest dobrze, choś pierwiastki koszmarne. Ale derive wypluł coś podobnego

Pomysł mi się spodobał

[_el_doopa]

Ad1
\(\displaystyle{ (u+v)^3 +3(u+v) +3=u^3 + v^3 +3uv(u+v) +3(u+v) +3=u^3+v^3+3=u^3-\frac{1}{u^3}+3=0}\)
\(\displaystyle{ u^6 + 3u^3-1=0 \Delta = 13 , u^3=\frac{-3-sqrt(13)}{2}' ' lub' ' u^3=\frac{-3+sqrt(13)}{2}}\)
łatwo sprawdzic ze :
\(\displaystyle{ \frac{-3-\sqrt(13)}{2}*\frac{-3+\sqrt(13)}{2}=-1}\)

masz stad
\(\displaystyle{ x=u+v=-\sqrt[3]{\frac{3+sqrt(13)}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-3+sqrt(13)}{2}}}\)

[ Dodano: Pon Sty 10, 2005 7:11 pm ]
ad2
w ukladzie wspolrzendnych:
pierwsze rownanie to 2 proste:
\(\displaystyle{ y=x, y=-x}\)
drugie to okrag osrodku w (a,0) i promieniu 1.

jak sobie to narysujesz to powinno wyjsc (tak w pamieci)
\(\displaystyle{ a=1,a=-1}\)

[Arbooz]

3) Kurczę, liczyłem, ale już mi się nie chce, tragiczne wyniki >:(

A proponuję tak:
Najpierw wyznaczam x ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego: x= 2/5
Podstawiam ten x do wielomianu, przyrównuje do zera i mam rownanie kwadratowe ze wzgledu na n. Wyznaczam z niego dwie mozliwe wartosci n.
Dla kazdej z wartosci n dziele wielomian przez (x-2/5) i dalej juz zalezy od tego co wyjdzie.... :>

[basia]

Serdecznie Wam dziękuję za pomoc!
El doopa-czy możesz zmienić formułę, bo mi wyświetla tylko czerwone okienka.
Ja już swoją zmieniłam