Zadanie z parametrem

[nkwd]

Dla jakich wartści rzeczwistych parametru m równanie \(\displaystyle{ (m+1)x^{4}-2(m+1)x^{2}+m=0}\) ma dokładnie 4 różne rozwiązania?

[Vixy]

za \(\displaystyle{ x^2=t}\) \(\displaystyle{ t>0}\)

\(\displaystyle{ t_{1}*t_{2}0}\)

[Uzo]

\(\displaystyle{ t_{1}*t_{2}}\)

[Krzysiek K.]

Witam.
Aby równanie
\(\displaystyle{ (m+1)x^4-2(m+1)x^2+m=0}\) \(\displaystyle{ (1)}\)
miało cztery różne rozwiązania to musi być przede wszystkim wielomianem czwartego stopnia ( patrz pierwszy z warunków poniżej ). Po Twoim wieku wnioskuję, że jesteś jeszcze w liceum. Stąd chodzi prawdopodobnie o pierwiastki rzeczywiste. Ma to duży wpływ na nasze dalsze założenia. Mianowicie wprowadzamy zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ x^2=t}\), i otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ (m+1)t^2-2(m+1)t+m=0}\) \(\displaystyle{ (2)}\)
Aby równanie \(\displaystyle{ (1)}\) miało cztery pierwiastki rzeczywiste, równanie \(\displaystyle{ (2)}\), musi mieć dwa rozwiązania i to dodatnie.Stąd nasze założenia co do wielomianu \(\displaystyle{ (2)}\) muszą być następujące:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m+1\neq0\\\Delta>0\\t_1+t_2>0\\t_1t_2>0\end{cases}}\)
Rozwiązując ten układ ze względu na \(\displaystyle{ m}\) wyznaczymy te wartości parametru dla których są spełnione warunki zadania.
W dwóch ostatnich założeniach powyższego układu skorzystamy ze wzorów Viete'a:
\(\displaystyle{ x_1+x_2=\frac{-b}{a}}\); \(\displaystyle{ x_1x_2=\frac{c}{a}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{R}}\) są współczynnikami wielomianu \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\).

Mam nadzieję, że pomogłem.
Pozdrawiam.