zad.
wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^3 + ax + b}\) ma pierwiastek dwukrotny, to \(\displaystyle{ 4a^3 + 27b^2 = 0}\)
dowodzenie...
-
prezespatryk
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 8 kwie 2007, o 21:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gliwice
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
dowodzenie...
Niech \(\displaystyle{ x_p}\) bedzie dwukrotnym pierwiastkiem wielomianiu \(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax+b}\).
Stad \(\displaystyle{ W(x_p)=0}\) i \(\displaystyle{ W'(x_p)=0}\).
Ponadto \(\displaystyle{ W''(x_p)\neq 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3_p+ax_p+b=0\\3x^2_p+a=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}b=2x^3_p\\a=-3x_p^2\end{cases}}\)
Rozwazmy wyrazenie:
\(\displaystyle{ 4a^3+27b^2=4(-3x_p^2)^3+27(2x^3)^2=-27\cdot 4 x_p^6+27\cdot 4x_p^6=0}\) c.n.d
Stad \(\displaystyle{ W(x_p)=0}\) i \(\displaystyle{ W'(x_p)=0}\).
Ponadto \(\displaystyle{ W''(x_p)\neq 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3_p+ax_p+b=0\\3x^2_p+a=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}b=2x^3_p\\a=-3x_p^2\end{cases}}\)
Rozwazmy wyrazenie:
\(\displaystyle{ 4a^3+27b^2=4(-3x_p^2)^3+27(2x^3)^2=-27\cdot 4 x_p^6+27\cdot 4x_p^6=0}\) c.n.d