Wyznaczanie wielomianów, równania na wielomianach

[adi7501]

Witam!
Potrzebuje pomocy, przygotowania na sprawdzian z wielomianów. Dostałem na kartce osiem zadań powtórzeniowych. Chciałbym rozwiązać te zadania, jednakże mimo obecności na wszystkich lekcjach nie jestem sobie w stanie z nimi poradzić. Dwa zadania pomijam, ponieważ raczej dam sobie z nimi radę.

Zad1. Dane są wielomiany: \(\displaystyle{ f(x)=5x-2}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=( \sqrt{7}x-3 )( \sqrt{7}x +3 )}\). Wyznacz wielomian \(\displaystyle{ w(x)= 2[f(x)]^{3} - g(x)}\)

Zad4. Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ P(x)=ax^{3} +bx^{2}+cx+d}\) są liczby \(\displaystyle{ 2, -2, 5}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ p(3) = 30}\) oblicz współczynniki a,b,c,d

Zad5. Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ w(x)= 4x^{3} +ax^{2} -16x+b}\) są liczby \(\displaystyle{ (-1) i 3}\). Znajdź a i b oraz trzeci pierwiastek wielomianu W.

Zad6. Dla jakich a i b wielomianu \(\displaystyle{ w(x)= -2x^{3}-x^{2}+26x-15}\) jest równy iloczynowi wielomianów \(\displaystyle{ g(x)=2x^{2}+ax+b}\) i \(\displaystyle{ h(x)= -x+3}\)

Zad7. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^{3} +ax^{2} - 6x + 9}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ w(-2)=33}\) oblicz a i sprawdź, czy punkt \(\displaystyle{ P=(1, 8)}\) należy do wykresu wielomianu W.

Zad8. Dla jakich wartości m liczba \(\displaystyle{ (-4)}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=(m-2) x^{3}+(2m+2)x^{2}-mx-4m}\)


Z góry dziękuję.

[bakala12]

W czym problem? Nie umiesz podstawić i liczyć?

[yorgin]

jednakże mimo obecności na wszystkich lekcjach nie jestem sobie w stanie z nimi poradzić

Jak widać słabo się uważało na lekcjach. Zwłaszcza że wszystkie zadania polegają na podstawianiu, ewentualnemu rozwiązaniu układu równań, mnożeniu wielomianów oraz rozumieniu, czym jest pierwiastek.

[adi7501]

Uwaga na lekcjach to jedno, a umiejętność nauczania to drugie. Coś dzwoni, ale nie wiem w którym kościele - że tak powiem. Wiem, że powyższe zadania są łatwe, ale sam ich nie rozwiążę bo po prostu nie umiem.

Zadań jest dużo, więc może zacznijmy od najprostszego dla mnie- zadanie 4
Stanąłem na podstawieniu do wzoru pierwiastków:
\(\displaystyle{ P(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)}\)
\(\displaystyle{ P(x)= x(x-2)(x+2)(x-5)}\)
Na lekcjach liczyliśmy niemalże identyczne zadanie, ale zawsze cyferka w nawiasie była równa 0, a tutaj jest \(\displaystyle{ P(3)=30}\). Co z tym dalej zrobić?

Za jakąkolwiek pomoc będę nagradzał punktami pomógł. To dla mnie bardzo ważne, ponieważ muszę zaliczyć ten sprawdzian.

[bakala12]

\(\displaystyle{ P(x)= x(x-2)(x+2)(x-5)}\)

Powinno być raczej:
\(\displaystyle{ P\left( x\right)=a\left( x-2\right) \left( x+2\right) \left( x-5\right)}\)
Teraz podstaw \(\displaystyle{ x=3}\) i przyrównaj to do 30. wylicz z tego a.

[adi7501]

Zadanie 4 rozwiązane!
Podstawiłem, wyliczyłem.
\(\displaystyle{ a=-3 \\
b=15 \\
c=6 \\
d=-30}\)

Dziękuję za pomoc. Z zadaniem 5 również sobie poradziłem - miałem "ściągę" w zeszycie.

Niestety na tym moja wiedza się kończy i potrzebuję naprowadzenia. Zacznijmy od początku, czyli od zadania pierwszego. Uprzedzając pytania - kompletnie nie wiem jak się za to zabrać. Gdyby ktoś zaczął i powiedział co trzeba zrobić na pewno bym sobie poradził.

[bakala12]

Sprawdź rachunki w 4 bo chyba gdzieś się rombnąłeś. Co do zadania pierwszego to podstaw w miejsce \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) wzory i wykonaj działania. Pamiętaj o wzorze skróconego mnożenia.

[adi7501]

Nadal nie wiem jak wykonać pierwsze zadanie Mógłbyś podstawić te wzory? W jaki sposób wyznaczę pytany wielomian?




zadanie 4

\(\displaystyle{ P(x)=ax^{3} + bx^{2}+cx+d}\)
Pierwiastki wielomianu: \(\displaystyle{ 2, -2, 5}\)
\(\displaystyle{ P(3)=30}\)
a,b,c,d - szukane liczby

\(\displaystyle{ P(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)}\)
\(\displaystyle{ P(x)=a(x-2)(x+2)(x-5)}\)
\(\displaystyle{ P(3)=30}\)
\(\displaystyle{ 30= a(3-2)(3+2)(3-5)}\)
\(\displaystyle{ 30=a(1)(5)(-2)}\)
\(\displaystyle{ 30=a(-10) /: (-10)}\)
\(\displaystyle{ a= -3}\)


\(\displaystyle{ W(x)= a(x-2)(x+2)(x-5)}\)
\(\displaystyle{ a= -3}\)

\(\displaystyle{ W(x)= -3(x-2)(x+2)(x-5)}\)
\(\displaystyle{ W(x) = -3 (x^{2}-2)(x-5)}\)
\(\displaystyle{ W(x)= (-3x^{2}+6)(x-5)}\)
\(\displaystyle{ W(x)= -3x^{3} + 15x^{2}+6x- 30}\)
\(\displaystyle{ Odp: a= -3 , b=15, c=6, d= -30}\)

[bakala12]

No i masz w 4 błąd, bo
\(\displaystyle{ \left( x-2\right)\left( x+2\right) \neq x ^{2}-2}\)
Powinno być:
\(\displaystyle{ \left( x-2\right)\left( x+2\right) = x^{2}-4}\)
Popraw błąd i napisz co wyszło. Co do pierwszego to jaśniej już nie umiem:
\(\displaystyle{ w\left( x\right)=2\left[ f\left( x\right) \right] ^{3} -g\left( x\right) =2 \left( 5x-2\right) ^{3}-\left( \sqrt{7}x-3 \right) \left( \sqrt{7}x+3 \right) =...}\)

[SheldonCooper]

\(\displaystyle{ f(x)=5x-2 \\
g(x)=(\sqrt{7}x-3)(\sqrt{7}x+3) \Rightarrow g(x)=7x^{2}-9 \\
w(x)=2\left[f(x)\right]^{3}-g(x) \\
w(x)=2(5x-2)^{3}-7x^{2}+9 \\
w(x)=250 x^3-307 x^2+120 x-7}\)

[adi7501]

Faktycznie zrobiłem błąd. Poprawiłem i wyszło dobrze, czyli:
\(\displaystyle{ a= -3}\)
\(\displaystyle{ b= 15}\)
\(\displaystyle{ c= 12}\)
\(\displaystyle{ d= -60}\)


Z małą pomocą kumpla rozwiązałem prawie wszystkie zadania. Prawie, ponieważ nie jestem pewny czy zadanie piąte jest dobrze zrobione, a na zadaniu szóstym stanąłem w martwym punkcie...


Proszę o sprawdzenie ZADANIA 5

\(\displaystyle{ W(x)=4x^{3}+ax^{2} -16x+b}\)
c - trzeci pierwiastek wielomianu
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
\(\displaystyle{ W(3)=0}\)
a,b,c - szukane pierwiastki

\(\displaystyle{ w(x)=k(x-x1)(x-x2)(x-x3)}\)
\(\displaystyle{ k=1}\)

\(\displaystyle{ W(x)= (x+1)(x-3)(x-c)}\)
\(\displaystyle{ W(x)= (x^{2} -3x+1x-3)(x-c)}\)
\(\displaystyle{ W(x)= (x^{2}-2x-3)(x-c)}\)
\(\displaystyle{ W(x)= x^{3} - cx^{2}-2x^{2}+2cx-3x-3c}\)
\(\displaystyle{ W(x)= x^{3} + (-c-2)x^{2} + (2x-3)x +3c}\)
\(\displaystyle{ W(x)= x^{3} - x^{2} +ax-b}\)

\(\displaystyle{ a=2c-3}\)
\(\displaystyle{ -b= 3c}\)
\(\displaystyle{ -c-2=-1}\)

\(\displaystyle{ -c-2=-1}\)
\(\displaystyle{ -c=1}\)
\(\displaystyle{ c= -1}\)

\(\displaystyle{ a= 2(-1)(3)}\)
\(\displaystyle{ -b=3*(-1)}\)
\(\displaystyle{ c= -1}\)

\(\displaystyle{ a=-6}\)
\(\displaystyle{ b= 3}\)
\(\displaystyle{ c= -1}\)


Metoda z "k=1" została wykorzystana przez NAUCZYCIELKĘ na lekcji w identycznym zadaniu z innymi danymi. Nie wiem na czym to polega, a tym bardziej czy zapis jest poprawnie matematycznie i czy wyniki są dobre. Proszę o sprawdzenie.





ZADANIE 6
Stanąłem w pewnym momencie i nie wiem co dalej zrobić. Proszę o radę.

\(\displaystyle{ W(x)=-2x^{3} - x^{2} + 26x - 15}\)
\(\displaystyle{ (2x^{2}+ax+b)(-x+3)= -2x^{3} +6x^{2} -ax^{2} +3ax - bx+3b=}\)
\(\displaystyle{ = -2x^{3} + (6-a)x^{2} + (3a-b)x +3b}\)

Co dalej??





Dziękuję i pozdrawiam!

[bakala12]

Zadanie 4 jest już zrobione poprawnie.
Co do zadania 5 to niestety nie tak jak trzeba.
Najpierw jest:

\(\displaystyle{ W(x)=4x^{3}+ax^{2} -16x+b}\)

A potem piszesz:

\(\displaystyle{ w(x)=k(x-x1)(x-x2)(x-x3) \Rightarrow
k=1}\)

No wybacz ale to się kupy nie trzyma.
Czyli tera powinieneś napisać
\(\displaystyle{ W(x)=4 (x+1)(x-3)(x-c)}\) i dalej to powymnażać.

Zadanie 6 bardzo dobrze. Teraz zastosuj twierdzenie o równości wielomianów, czyli skoro są równe to przyrównaj ich współczynniki przy tych samych potęgach. Stąd policzysz układem równań parametry.

[SheldonCooper]

Zadanie 6): Wymnóż przez siebie wielomiany \(\displaystyle{ g(x)}\) oraz \(\displaystyle{ h(x)}\) i przyrównaj współczynniki nowopowstałego wielomianu \(\displaystyle{ g(x) \cdot h(x)}\) do współczynników wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) - wyliczysz z tego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

\(\displaystyle{ 6-a=-1 \\
3a-b=26 \\
3b=-15 \Rightarrow b=-5 \\
3a=21 \Rightarrow a=7}\)

Zadanie 5) Podstaw do wzoru wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) wartości \(\displaystyle{ x=-1}\) i \(\displaystyle{ x=3}\). Powstanie dzięki temu układ dwóch równań, z których obliczysz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Następnie, korzystając z dzielenia wielomianów lub rozkładu Hornera, obliczysz trzeci pierwiastek.