(4 zadania) Pierwiastki wielomianów. Dzielenie wielomianĂĹ

[basia]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań:

1) Dla jakiej wartośći a,b,c wielomian dzieli się przez wielomian ?
2) Pierwiastki równania =0 tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznaczyć a i rozwiązać to równanie.
3) Dla jakich wartości a wielomian W(x)=ma trzy różne pierwiastki?
4) Dla jakiej wartości parametru a równanie =0, a>0 posiada trzy różne pierwiastki rzeczywiste?

[olazola]

Ad2)
Niech x1, x1+r, x1+2r - bedą pierwiastkami tego wielomianu, wtedy
W(x1)=0
W(x1+r)=0
W(x1+2r)=0

Jeśli chodzi o rozwiazanie tegu układu to radze w drugim równaniu odnaleźć całe pierwsze i wiadomo, że to sie równa 0, i podobnie z trzecim, jak juz uprościsz drugie, należy znaleźć drugie i wiadomo ze to jest równe 0. Mam nadzieje ze sobie poradzisz.
Rozwiazaniem jest r=0 lub x1=1
Jeśli x1=1 wdedy wstawiamy do pierwszego r-nia i otrzymujemy a=1
Stad mamy r-nie trzeciego stopnia , x=1 jest rozwiazaniem r-nia, czyli nalezy podzielic dane r-nie przez x-1 z czego dostajemy r-nie kwadratowe rozwiazaniami tego r-nia są liczby:
Czyli rozwiazania r-nia które tworzą ciag arytmetyczny to

Przypadek, gdy r=0 - ciag stały - jedno potrójne rozwiazanie

Stąd otrzymujemy, ze

Ad 3) i 4) Szybko można to obliczyć stosując wzory Cardano:
wielomian trzeciego stopnia ma trzy rożne pierwiastki gdy wyróżnik jest mniejszy od zera
3)


a=3 jest pierwiastkiem tego r-nia, nastepnie dzielimy przez a-3 i otrzymujemy r-nie kwadratowe: - rozwiazaniem jest a=12
Podsumowując rozwiazania tego r-nia to a=3 i a=12 - podwójne rozw.
Należy narysować wykres i odrzytać gdzie to jest ujemne czyli

Jeśli chodzi o zadanie 4) to tak samo ale trzeba doprowadzić to do postaci , przez odpowiednie podstawienie.

[liu]

3 inaczej bez Cardano:

Zauwaz, ze wielomian ten ma zawsze pierwiastek 2, wobec tego podziel przez (x-2) i oblicz wyroznik rownania kwadratowego - W(x) bedzie mial 3 pierwiastki Delta>0

[doniczek]

wszystko ładnie ale jak to zauważyć ???? wiem że to prawda bo sprawdziłem ale nie potrafie tak spojrzeć lub rozłożyć tego wielomianu żeby to wyszło

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ x^{3}-ax+2a-8=0}\)
\(\displaystyle{ x^3-8-ax+2a=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2+2x+4)-a(x-2)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2+2x+4-a)=0}\)

Teraz widać? Mam nadzieję, że tak ^_^

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[bisz]

umieram z ciekawosci jak policzyc zadanie numer 1 zaczalem sie bawic matlabem w schemat hornera i w ostatnim etapie gdzie ma wyjsc zero pojawilo mi sie :
s1 = (((1-1/3*a-1/3*(a^2-3*b)^(1/2))*(-1/3*a-1/3*(a^2-3*b)^(1/2))+a)*(-1/3*a-1/3*(a^2-3*b)^(1/2))+b)*(-1/3*a-1/3*(a^2-3*b)^(1/2))
s2 = (((1-1/3*a+1/3*(a^2-3*b)^(1/2))*(-1/3*a+1/3*(a^2-3*b)^(1/2))+a)*(-1/3*a+1/3*(a^2-3*b)^(1/2))+b)*(-1/3*a+1/3*(a^2-3*b)^(1/2))

mamy niby 2 niewiadome a i b, wyznaczenie kazdej z nich z kazdego z tych 2 ukladow daje nastepne 3 rozwiazania a gdy wybiore jedno z nich i podstawiam do drugiego to matlab mowi mi ze a = a , ma ktos inne pomysły ?

rozpisalem to jeszcze na :
x1=1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*a

x2=-1/12*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+3*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*a+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3))

x3=-1/12*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+3*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*a-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3))

x4=-1/3*a+1/3*(a^2-3*b)^(1/2)
x5=-1/3*a-1/3*(a^2-3*b)^(1/2)
i po zapisaniu (x-x1)(x-x2)(x-x3)/3(x-x4)(x-x5) otrzymalem calkiem klarowną postać równą :
(x-1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+(2*b-2/3*a^2)/(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+1/3*a)*(x+1/12*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-(b-1/3*a^2)/(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+1/3*a-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+(2*b-2/3*a^2)/(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)))*(x+1/12*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-(b-1/3*a^2)/(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+1/3*a+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+(2*b-2/3*a^2)/(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)))/(3*x+a-(a^2-3*b)^(1/2))/(x+1/3*a+1/3*(a^2-3*b)^(1/2))

i szczerzemówiąc nie mam już pojęcia co dalej :/

[liu]

Doniczek -> twierdzenie Bezout'a:) Wyraz wolny to -8, wiec pierwiastki moga byc \(\displaystyle{ \pm 1, \pm 2, \pm 4,\pm 8}\) a to juz skonczona liczba mozliwosci do rozpatrzenia

[Yavien]

1) Dla jakiej wartośći a,b,c wielomian \(\displaystyle{ x^{3}+ax^{2}+bx+c}\) dzieli się przez wielomian \(\displaystyle{ 3x^2 + 2ax+b}\)?

Aby sie dzielil, to
\(\displaystyle{ x^{3}+ax^{2}+bx+c = (Ax+B)(3x^2 + 2ax+b) = 3Ax^3 + (3B + 2Aa)x^2 + (Ab + 2Ba)x + Bb}\)
z porownania wspolczynnikow przy 3 i 2 potedze x mamy rownania:
\(\displaystyle{ 3A = 1}\)
\(\displaystyle{ 3B+2Aa = a}\)
Stad
\(\displaystyle{ A = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ B = \frac{1}{9}a}\)
i dalsze wspolczynniki:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}b + \frac{2}{9} a^2 = b}\)
stad
\(\displaystyle{ b = \frac{1}{3}a^2}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{1}{9}a\cdot \frac{1}{3}a^2 = c}\)
czyli
\(\displaystyle{ c = \frac{1}{27}a^3}\)
Wychodzi mi wiec, ze
\(\displaystyle{ a = a}\)
\(\displaystyle{ b = \frac{1}{3}a^2}\)
\(\displaystyle{ c = \frac{1}{27}a^3}\)
Sprawdzmy wielomian wyjsciowy:
\(\displaystyle{ x^{3}+ax^{2}+\frac{1}{3}a^2x+\frac{1}{27}a^3 = \frac{1}{27}(27x^3 + 27ax^2 + 9a^2x + a^3) = \frac{1}{27}(3x + a)^3}\)
a wielomian, przez ktory mamy dzielic:
\(\displaystyle{ 3x^2 + 2ax+\frac{1}{3}a^2 = \frac{1}{3}(9x^2 + 6ax + a^2) = \frac{1}{3}(3x + a)^2}\)