W rozwinięciu dwumianu \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{a}+\sqrt{a^{-1} } \right) ^{15}}\) znaleźć wyraz nie zawierający a.
Nie bardzo wiem jak to sensownie ugryźć bez "zgadywania".
W rozwinięciu dwumianu
-
Daniell132
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 1 mar 2012, o 21:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 3 razy
-
Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
W rozwinięciu dwumianu
Musisz wiedzieć, że:
\(\displaystyle{ \left( a+b\right)^n=a^n+q_1 \cdot a^{n-1}b+q_2 \cdot a^{n-2}b^{2}+ \ldots +q_2 \cdot a^2b^{n-2}+q_1 \cdot ab^{n-1}+b^n}\)
Gdzie \(\displaystyle{ q_n}\) jest współczynnikiem, który możemy odczytać z trójkąta Pascala. Ponadto zauważ, że wszystkie potęgi występujące w określonym wyrazie dają w sumie \(\displaystyle{ n}\).
U nas \(\displaystyle{ n=15}\).
Aby wyraz nie zawierał \(\displaystyle{ a}\), musimy się pozbyć pierwiastków przez zastosowanie odpowiedniej potęgi, a otrzymane czynniki \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\) skrócą się do postaci \(\displaystyle{ 1}\), gdy będą tych samych potęg.
Zatem:
\(\displaystyle{ q \cdot \left( \sqrt[3]{a} \right)^{3k} \cdot \left( \sqrt{a^{-1}} \right)^{2k}=q \cdot a^k \cdot \left( \frac{1}{a}\right)^k=q \cdot \left( a \cdot \frac{1}{a} \right)^k=q}\)
Więc z wniosku o sumie potęg mamy równanie:
\(\displaystyle{ 3k+2k=15}\)
\(\displaystyle{ k=3}\)
Mamy \(\displaystyle{ q \cdot a^9b^6}\) co odpowiada:
\(\displaystyle{ q \cdot a^{n-6}b^{6}}\)
Odczytujemy, że jest to siódmy wyraz rozwinięcia i z trójkąta Pascala, że \(\displaystyle{ q=5005}\).
Zatem wyraz nie zawierający \(\displaystyle{ a}\) jest siódmym wyrazem rozwinięcia dwumianu i ma postać \(\displaystyle{ 5005}\).
\(\displaystyle{ \left( a+b\right)^n=a^n+q_1 \cdot a^{n-1}b+q_2 \cdot a^{n-2}b^{2}+ \ldots +q_2 \cdot a^2b^{n-2}+q_1 \cdot ab^{n-1}+b^n}\)
Gdzie \(\displaystyle{ q_n}\) jest współczynnikiem, który możemy odczytać z trójkąta Pascala. Ponadto zauważ, że wszystkie potęgi występujące w określonym wyrazie dają w sumie \(\displaystyle{ n}\).
U nas \(\displaystyle{ n=15}\).
Aby wyraz nie zawierał \(\displaystyle{ a}\), musimy się pozbyć pierwiastków przez zastosowanie odpowiedniej potęgi, a otrzymane czynniki \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\) skrócą się do postaci \(\displaystyle{ 1}\), gdy będą tych samych potęg.
Zatem:
\(\displaystyle{ q \cdot \left( \sqrt[3]{a} \right)^{3k} \cdot \left( \sqrt{a^{-1}} \right)^{2k}=q \cdot a^k \cdot \left( \frac{1}{a}\right)^k=q \cdot \left( a \cdot \frac{1}{a} \right)^k=q}\)
Więc z wniosku o sumie potęg mamy równanie:
\(\displaystyle{ 3k+2k=15}\)
\(\displaystyle{ k=3}\)
Mamy \(\displaystyle{ q \cdot a^9b^6}\) co odpowiada:
\(\displaystyle{ q \cdot a^{n-6}b^{6}}\)
Odczytujemy, że jest to siódmy wyraz rozwinięcia i z trójkąta Pascala, że \(\displaystyle{ q=5005}\).
Zatem wyraz nie zawierający \(\displaystyle{ a}\) jest siódmym wyrazem rozwinięcia dwumianu i ma postać \(\displaystyle{ 5005}\).