Wykazanie braku pierwiastków.

[mcoder]

Udowodnij, że wielomian \(\displaystyle{ f(x)=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+\frac{3}{4}}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

[Qń]

\(\displaystyle{ f(x)=(x^4+x^2+1)(x^2-x) +\frac 34}\)
Poza przedziałem \(\displaystyle{ [0,1]}\) iloczyn nawiasów jest dodatni, więc cały wielomian jest dodatni. W przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest:
\(\displaystyle{ x^4+x^2+1\le 3\\
-\frac 14 \le x^2-x}\)
(przy czym nie może zachodzić równość jednocześnie w obu nierównościach)

Łatwo stąd wynika, że:
\(\displaystyle{ (x^4+x^2+1)(x^2-x) > -\frac 34}\)
co oznacza, że \(\displaystyle{ f(x)>0}\).

Q.