Pierwiastki i dzielenie wielomianu.

[sylwia554]

1. Znajdź pierwiastki wielomianu i podaj ich wielokrotność.
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+1)(x^{2}-4)^{2}(x^{2}-x-6)(4-3x)^{3}}\)


2. Dla jakich m wielomian jest podzielny przez x-4.
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-mx^{2}-(m^{2}+3)x-4}\)

Proszę o pomoc w tych zadaniach, z góry dziękuję.

[Kacper20]

Rozkład, powinnaś to potrafić zrobić - gdzie się zatrzymałaś?

2. Po prostu \(\displaystyle{ W\left( 4\right)=0}\)

[sylwia554]

2. \(\displaystyle{ W(4)=4^{3}-m\cdot4^{2}-(m^{2}+3)4-4}\)
\(\displaystyle{ W(4)=64-m\cdot16-(m^{2}+3)\cdot0}\)
To jest dobrze?

W pierwszym wiem tylko, że z tego równania \(\displaystyle{ (x^{2}-x-6)}\) mam wyliczyć deltę

[dawid-cichacki]

na koncu nie robisz najpierw \(\displaystyle{ 4 - 4}\) tylko mnożenie \(\displaystyle{ (m ^{2} + 3 ) \cdot 4}\) i dopiero po wymnożeniu tego odejmujesz 4 (nie zapomnij ze przed nawiasem jest minus)

[sylwia554]

\(\displaystyle{ W(4)=4^{3}-m\cdot4^{2}-(m^{2}+3)4-4}\)
\(\displaystyle{ W(4)=64-m\cdot16-4m^{2}-12-4}\)
\(\displaystyle{ W(4)=64-16m-4m^{2}-16}\)
\(\displaystyle{ W(4)=48-16m-4m^{2}}\)
\(\displaystyle{ W(4)=-4m^{2}-16m+48}\)

Do tej pory dobrze zrobiłam? Teraz delta?

[lukasz1804]

Jasne, teraz trzeba obliczyć wyróżnik trójmianu. Można przedtem zauważyć, że \(\displaystyle{ W(4)=0\iff -4(m^2+4m-12)=0\iff m^2+4m-12=0}\). Obliczenia będą teraz łatwiejsze.

[Vether]

Ponadto można zauważyć:

\(\displaystyle{ m^2+4m-12=\left( m-2\right)\left( m+6\right)}\)

[sylwia554]

Jasne, teraz trzeba obliczyć wyróżnik trójmianu. Można przedtem zauważyć, że \(\displaystyle{ W(4)=0\iff -4(m^2+4m-12)=0\iff m^2+4m-12=0}\). Obliczenia będą teraz łatwiejsze.

Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ W(4)=0}\)? I czy jakbym obliczała deltę z tego \(\displaystyle{ W(4)=-4m^{2}-16m+48}\) to wyszłoby źle?

\(\displaystyle{ \Delta=m^2+4m-12}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot-12}\)

\(\displaystyle{ \Delta=16-48=-32}\)

Chyba coś źle obliczyłam

[Vether]

Jeśli wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ \left( x-4\right)}\), to \(\displaystyle{ 4}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, więc dla \(\displaystyle{ x=4}\) wielomian przyjmuje wartość równą \(\displaystyle{ 0}\).

Wyszłoby dobrze, ale po co sobie utrudniać rozwiązanie?

\(\displaystyle{ \Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot\left( -12\right) =16-\left( -48\right)=16+48=64}\)


EDIT: masz błąd w zapisie:

\(\displaystyle{ \Delta=m^2+4m-12}\) - to nie jest prawdą

\(\displaystyle{ m^2+4m-12=0}\) - to jest prawdą

[sylwia554]

Ok rozumiem, teraz jeśli się nie mylę muszę policzyć \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-4-8}{2\cdot1}=-6}\)

\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-4+8}{2\cdot1}=2}\)

I to już wszystko jeśli chodzi o to zadanie?

[Vether]

Właściwie:

\(\displaystyle{ m_{1}=-6}\)

\(\displaystyle{ m_{2}=2}\)


Tak, to już wszystko.