Rozwiąż równanie

[junior95]

\(\displaystyle{ 2x ^{4}-4x ^{2}+2+4x ^{3}+12x ^{2}+9x-11x ^{2}-14x=0 \\
2x ^{4}+4x ^{3}-3x ^{2}-5x+2=0}\)
Dobrze?

[Vether]

Pierwsza linijka dobrze... Ale dalej popraw

[junior95]

Teraz? (patrz wyżej)

[Vether]

Tak, teraz dobrze. Wiesz jak zauważyć jedynkę jako pierwiastek wielomianu?

[junior95]

nie

[Vether]

W wielomianie w postaci: \(\displaystyle{ Ax^n+Bx^{n-1}+Cx^{n-2}+...+Yx+Z=0}\)

\(\displaystyle{ 1}\) jest jednym z pierwiastków wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi:

\(\displaystyle{ A+B+C+...+Y+Z=0}\)

Np:

\(\displaystyle{ x^2-2x+1=0}\)

Pierwiastkiem tego wielomianu jest \(\displaystyle{ 1}\), ponieważ: \(\displaystyle{ 1-2+1=0}\)


Sprawdź, czy jedynka jest jednym z pierwiastków naszego wielomianu.

[junior95]

\(\displaystyle{ 2+4-3-5+2=0}\)
Jest:D

[Vether]

Tak:) Zatem:

\(\displaystyle{ x_{1}=1}\)

Możemy wyłączyć z naszego wielomianu \(\displaystyle{ \left( x-1\right)}\).

Spróbujesz?

[junior95]

\(\displaystyle{ (x-1)(2x ^{3}+6x ^{2}+3x-2)}\)

[Vether]

Tak;) Z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu wiemy, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ 2x^3+6x^2+3x-2}\) posiada całkowite pierwiastki, to należy ich szukać wśród dzielników \(\displaystyle{ -2}\). Nie ma ich dużo:

\(\displaystyle{ 1, -1, 2, -2}\)

Spróbuj znaleźć pierwiastek wielomianu. Wiemy, że \(\displaystyle{ 1}\) nim nie jest, bo: \(\displaystyle{ 2+6+3-2 \neq 0}\). A co z resztą?

[junior95]

właśnie kolejnych szukam
\(\displaystyle{ (x-1)(2x ^{3}+6x ^{2}+3x-2=0 \\
x-1=0 \vee 2x ^{3}+6x ^{2}+3x-2=0 \\
x=1}\)
i tu nie wiem ile wyciągnąć przed nawias by było ok. Z pierwszej pary (czyli \(\displaystyle{ 2x ^{3}+6x ^{2}}\)) maksymalnie można \(\displaystyle{ 2x ^{2}}\)
Dobra odpuściłem sobie z tym wyciąganiem i zrobiłem tak jak pisałeś dzieleniem, wiec następnym jest -2

[Vether]

\(\displaystyle{ -1, 2, -2}\) - jeśli wielomian \(\displaystyle{ 2x^3+6x^2+3x-2=0}\) ma jeszcze pierwiastki całkowite, to jest nim jedna z tych liczb, więc:

\(\displaystyle{ W(-1)=-2+6-3-2 \neq 0}\)

\(\displaystyle{ W(2)=16+24+12-2 \neq 0}\)

\(\displaystyle{ W(-2)=-16+24-6-2=0}\)


Zatem \(\displaystyle{ -2}\) jest jednym z pierwiastków wielomianu: \(\displaystyle{ 2x^3+6x^2+3x-2=0}\)

Wyciągnij \(\displaystyle{ x+2}\)


PS: Właśnie tak trzeba było zrobić Teraz możesz wyciągnąć-- 5 maja 2013, o 18:37 --\(\displaystyle{ \left( x-1\right) \left( 2x ^{3}+6x ^{2}+3x-2\right) =\left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( ???\right)}\)

[junior95]

\(\displaystyle{ (x-1)(x+2)(2x ^{2}+2x-1)}\)
Liczę deltę, wynosi ona 12
\(\displaystyle{ x3= \frac{-2- \sqrt{12} }{4} \\
x4= \frac{-2+ \sqrt{12} }{4}}\)

[Vether]

Nie...

\(\displaystyle{ \Delta=2^2-4 \cdot 2 \cdot \left( -1\right) =4+8=12}\)

Policz jeszcze raz dwa ostatnie pierwiastki



Co z następnym? Dasz sobie radę?

[junior95]

Teraz już myślę, że tak:) Ogromne dzięki dla Ciebie
PS A faktycznie, trzeba być czujnym, najgorzej znaleźć swój błąd;)