Wyznaczyć część wspólną zbiorów określonych funkcjami.

[Peres]

Witam. Mam problem z dojściem do wyniku końcowego w takim zadaniu :

Wyznacz zbiór \(\displaystyle{ A \cap B}\), wiedząc,że :

\(\displaystyle{ A}\) - zbiór rozwiązań nierówności : \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2} x + 1 \right| + \left| 3-x\right| \le 4 ,}\)

\(\displaystyle{ B}\) - zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ \left| x ^{2} - 5\right| -4 = 0}\)

Dzielę sobie nierówność zbioru \(\displaystyle{ A}\) na 3 przypadki :
1) \(\displaystyle{ x \in (- \infty ; -2>}\)
2) \(\displaystyle{ x \in (-2 ; 3>}\)
3) \(\displaystyle{ x \in (3 ; \infty )}\)

Po rozwiązaniu nierówności nr 1 dostaję :
\(\displaystyle{ x \ge -\frac{4}{3}}\) co wykracza poza zbiór który jest rozpatrywany, więc odrzucam
nr 2 :
\(\displaystyle{ x \le 4}\) łącząc z przypadkiem dostaję : \(\displaystyle{ x \in (-2 ; 3>}\)

nr 3 :
\(\displaystyle{ x \ge 0}\) więc z rozpatrywanym przypadkiem dostaję zbiór \(\displaystyle{ x \in (3 ; \infty )}\)

Zbierając razem te rozwiązania dostaję zbiór \(\displaystyle{ x \in (-2 ; \infty )}\)

Teraz zbiór \(\displaystyle{ B}\) rozkładam na dwa przypadki, że moduł jest równy 4 lub -4, co za tym idzie dostaję z tego , że \(\displaystyle{ x = 3, x= -3, x=1, x=-1}\).

Teraz zbierając część wspólną w odpowiedzi pojawiają się liczby : \(\displaystyle{ 3, 1 , -3}\). Mógłby mi ktoś powiedzieć dlaczego taki zbiór ? Może popełniłem gdzieś błąd w liczeniu ? Pozdrawiam

[Dilectus]

Peres, gdzieś się chyba rąbnąłeś. Rozwiązaniem nierówności A jest zbiór

\(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, 4\right\rangle}\)

Sprawdź to, rysując w programie Graph wykres funkcji \(\displaystyle{ y= \left| \frac{1}{2} x + 1 \right| + \left| 3-x\right|}\) i patrząc, gdzie \(\displaystyle{ y \le 4}\)

Rozwiązaniem równania B są te liczby, które podałeś, czyli

\(\displaystyle{ x_{1}=-3, \ x_{2} = -1, \ x_{3}= 1, \ x_{4}=3}\)

Zatem częścią wspólną tych dwóch zbiorów są liczby 1 i 3.