Reszta z dzielenia wielomianów

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Samlor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 203
Rejestracja: 27 kwie 2013, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1 raz

Reszta z dzielenia wielomianów

Post autor: Samlor »

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ n>2}\) , którego suma wszystkich współczynników jest
równa \(\displaystyle{ 4}\), a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa
sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta \(\displaystyle{ R(x)}\)
z dzielenia tego wielomianu przez wielomian\(\displaystyle{ P(x)=(x+1)(x-1)}\) jest równa \(\displaystyle{ R(x)=2x+2}\)

Suma wszystkich współczynników jest równa \(\displaystyle{ 4}\), z tego wiemy, że \(\displaystyle{ W(1)=4}\)

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot (x+1)(x-1) +2x+2}\)

Wielomina \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest stopnia \(\displaystyle{ k>1}\)

\(\displaystyle{ W(1)=Q(1)\cdot (1+1)(1-1) + 2\cdot1+2}\)

\(\displaystyle{ W(1)=4}\)

Czy to jest cały dowód ? Po co jest ta wzmianka o współczynnikach przy wykładnikach nie/-parzystych.
Awatar użytkownika
kominkowa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 8 lut 2013, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań, Wlkp
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

Reszta z dzielenia wielomianów

Post autor: kominkowa »

Nie. Zaczynasz od tezy. I w sumie nic nie udowadniasz.
Masz WYZNACZYĆ TĘ RESZTĘ. Korzystając z tego, że reszta z dzielenia jest stopnia o jeden niższego od wielomianu, przez który dzielisz (czyli tu ma postać liniową):
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)
\(\displaystyle{ W(1)=4}\)
\(\displaystyle{ W(1)=a+b}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=-a+b}\)
Wyznacz a, b.
Samlor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 203
Rejestracja: 27 kwie 2013, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1 raz

Reszta z dzielenia wielomianów

Post autor: Samlor »

kominkowa pisze:Nie. Zaczynasz od tezy. I w sumie nic nie udowadniasz.
Masz WYZNACZYĆ TĘ RESZTĘ. Korzystając z tego, że reszta z dzielenia jest stopnia o jeden niższego od wielomianu, przez który dzielisz (czyli tu ma postać liniową):
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)
\(\displaystyle{ W(1)=4}\)
\(\displaystyle{ W(1)=a+b}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=-a+b}\)
Wyznacz a, b.
A po co jest ta wzmianka o współczynnikach przy wykładnikach ?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Reszta z dzielenia wielomianów

Post autor: piasek101 »

Abyś miał równanie \(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
ODPOWIEDZ