Twierdzenie Bezouta

[vinci2]

Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez wielomian \(\displaystyle{ u}\), nie wykonując dzielenia.
\(\displaystyle{ w(x) = x^{5} - x^{3} + x^{2} - 1}\)
\(\displaystyle{ u(x) = (x-1)(x+1)(x+2)}\)

Zacząłem od znalezienia pierwiastka całkowitego:
\(\displaystyle{ w(1) = 1^{5} - 1^{3} + 1^{2} - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ w(-1) = (-1)^{5} - (-1)^{3} + (-1)^{2} - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ w(2) = 2^{5} - 2^{3} + 2^{2} - 1 = 27}\)

\(\displaystyle{ r = ax + b}\)

Teraz wydaje mi się, że powinienem zrobić układ równań, ale zupełnie nie wiem jak. Zawsze wychodzi źle. A może to zły sposób? Proszę o pomoc.

[Qń]

Po pierwsze powinieneś policzyć wartość \(\displaystyle{ W}\) w \(\displaystyle{ -2}\), a nie w \(\displaystyle{ 2}\).
A po drugie reszta jest postaci \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\), bo przecież dzielimy przez wielomian trzeciego stopnia.

Q.

[vinci2]

Dziękuję za odpowiedź! Faktycznie, wszystko mi się pomieszało. OK, więc tak:

\(\displaystyle{ W(-2) = (-2)^{5} - (-2)^{3} + (-2)^{2} - 1 = -32 + 8 + 4 -1 = -21}\)

I w tym momencie nie wiem co zrobić. Mam to podstawić do \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\) ?
Jeśli tak to wychodzi:

\(\displaystyle{ R(1)=a+b+c}\)
\(\displaystyle{ R(-1)=a-b+c}\)
\(\displaystyle{ R(-2)=4a-2b+c}\)

czyli

\(\displaystyle{ 0=a+b+c}\)
\(\displaystyle{ 0=a-b+c}\)
\(\displaystyle{ -21=4a-2b+c}\)

Dobrze robię? Jeśli tak to co dalej? A jeśli nie to jak powinienem zrobić i dlaczego? (nie szukam gotowego rozwiązania, zależy mi na tym aby zrozumieć co zrobić krok po kroku)

Edit: Rozwiązałem układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b + c = 0 \\ a - b + c = 0 \\ 4a - 2b + c = -21 \end{cases}}\)

Wynik:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = -7 \\ b = 0 \\ c = 7 \end{cases}}\)

Czyli moja reszta wygląda tak: \(\displaystyle{ -7x^{2} + 7}\)

Podziękowania dla Qń za pomoc w rozwiązaniu zadania.