Udowodnij ze zachodzi

[Fiszer]

Wielomiany
\(\displaystyle{ P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0}\) oraz
\(\displaystyle{ Q(x) = x^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x+b_0}\)

Spełniają warunek

\(\displaystyle{ (P(x))^2 = (x^2-1)(Q(x))^2+1}\)

Udowodnij, ze \(\displaystyle{ P'(x)=nQ(x)}\)
Vax powiedział, żebym pokazał na początku, że \(\displaystyle{ (P(x),Q(x))=1}\), później różczniczkować równość z założenia. I moje pytanie, jak pokazać, że P i Q są względnie pierwsze? Tzn. mam pewną koncepcję, ale nie wiem czy tak można, mianowicie
Oznaczyłbym
\(\displaystyle{ s=P(x)^2, t=Q(x)^2}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ s-(x^2-1)t=1}\)
Potem, niech \(\displaystyle{ d=x^2-1}\)
Wtedy załóżmy, że \(\displaystyle{ s=ap, t=bp}\) oraz \(\displaystyle{ p>1}\)
Wtedy nasza równość \(\displaystyle{ ap-dbp=1 \Rightarrow p(a-db)=1 \Rightarrow p=1}\)
Sprzeczność, czyli \(\displaystyle{ (s,t)=1 \Rightarrow (P(x),Q(x))=1}\)
Oczywiście tam oznaczanie, że całkowite itd. Można tak to pokazać?

[bartek118]

Ja bym powiedział tak - jeżeli wielomiany te nie są względnie pierwsze, to musiałby istnieć pierwiastek (być może zespolony), wspólny dla obu. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ x_0}\) jest tym pierwiastkiem. Wówczas podstawiając to do równości otrzymujesz \(\displaystyle{ 0 = 1}\) - sprzeczność.